HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubadd 27822
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubadd ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd
StepHypRef Expression
1 oveq1 6622 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2623 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶))
3 eqeq2 2632 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3bibi12d 335 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 6623 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2623 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶))
7 oveq1 6622 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶))
87eqeq1d 2623 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
96, 8bibi12d 335 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
10 eqeq2 2632 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
11 oveq2 6623 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1211eqeq1d 2623 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1310, 12bibi12d 335 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
14 ifhvhv0 27767 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 27767 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
16 ifhvhv0 27767 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1714, 15, 16hvsubaddi 27811 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
184, 9, 13, 17dedth3h 4119 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4064  (class class class)co 6615  chil 27664   + cva 27665  0c0v 27669   cmv 27670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-hfvadd 27745  ax-hvcom 27746  ax-hvass 27747  ax-hv0cl 27748  ax-hvaddid 27749  ax-hfvmul 27750  ax-hvmulid 27751  ax-hvdistr2 27754  ax-hvmul0 27755
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229  df-hvsub 27716
This theorem is referenced by:  shmodsi  28136  pjop  28174  pjpo  28175  chscllem2  28385  pjo  28418  hodsi  28522  pjimai  28923  superpos  29101  sumdmdii  29162  sumdmdlem  29165
  Copyright terms: Public domain W3C validator