HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubadd 27120
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubadd ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem hvsubadd
StepHypRef Expression
1 oveq1 6530 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2607 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶))
3 eqeq2 2616 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
42, 3bibi12d 333 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
5 oveq2 6531 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2607 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶))
7 oveq1 6530 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶))
87eqeq1d 2607 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
96, 8bibi12d 333 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
10 eqeq2 2616 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
11 oveq2 6531 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1211eqeq1d 2607 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1310, 12bibi12d 333 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 𝐶 ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + 𝐶) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
14 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
15 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
16 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
1714, 15, 16hvsubaddi 27109 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ↔ (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) + if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
184, 9, 13, 17dedth3h 4086 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  ifcif 4031  (class class class)co 6523  chil 26962   + cva 26963  0c0v 26967   cmv 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-neg 10116  df-hvsub 27014
This theorem is referenced by:  shmodsi  27434  pjop  27472  pjpo  27473  chscllem2  27683  pjo  27716  hodsi  27820  pjimai  28221  superpos  28399  sumdmdii  28460  sumdmdlem  28463
  Copyright terms: Public domain W3C validator