HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubass 27741
Description: Hilbert vector space associative law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubass ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubass
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11069 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 27710 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
4 hvaddsubass 27738 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
53, 4syl3an2 1357 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
6 hvsubval 27713 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
763adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
87oveq1d 6620 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − 𝐶))
9 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
10 hvaddcl 27709 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
11103adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
12 hvsubval 27713 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
139, 11, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
14 hvsubval 27713 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
153, 14sylan 488 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
16153adant1 1077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
17 ax-hvdistr1 27705 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
181, 17mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
19183adant1 1077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐵 + 𝐶)) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · 𝐶)))
2016, 19eqtr4d 2663 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) − 𝐶) = (-1 · (𝐵 + 𝐶)))
2120oveq2d 6621 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + (-1 · (𝐵 + 𝐶))))
2213, 21eqtr4d 2663 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + ((-1 · 𝐵) − 𝐶)))
235, 8, 223eqtr4d 2670 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879  1c1 9882  -cneg 10212  chil 27616   + cva 27617   · csm 27618   cmv 27622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-hfvadd 27697  ax-hvass 27699  ax-hfvmul 27702  ax-hvdistr1 27705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213  df-neg 10214  df-hvsub 27668
This theorem is referenced by:  hvsub32  27742  hvsubassi  27752  pjhthlem1  28090
  Copyright terms: Public domain W3C validator