Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcan 28059
 Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcan ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvsubcan
StepHypRef Expression
1 hvsubval 28001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
213adant3 1101 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
3 hvsubval 28001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
433adant2 1100 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
52, 4eqeq12d 2666 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶) ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐶))))
6 neg1cn 11162 . . . 4 -1 ∈ ℂ
7 hvmulcl 27998 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
86, 7mpan 706 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
9 hvmulcl 27998 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
106, 9mpan 706 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
11 hvaddcan 28055 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)) ↔ (-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶)))
1210, 11syl3an3 1401 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)) ↔ (-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶)))
138, 12syl3an2 1400 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)) ↔ (-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶)))
14 neg1ne0 11164 . . . . 5 -1 ≠ 0
156, 14pm3.2i 470 . . . 4 (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
16 hvmulcan 28057 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
1715, 16mp3an1 1451 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
18173adant1 1099 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) = (-1 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
195, 13, 183bitrd 294 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305   ℋchil 27904   +ℎ cva 27905   ·ℎ csm 27906   −ℎ cmv 27910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-hvsub 27956 This theorem is referenced by:  hvsubcan2  28060
 Copyright terms: Public domain W3C validator