Theorem hvsubcan 28059

Description: Cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 18-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvsubcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 28001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
2	1	3adant3 1101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
3		hvsubval 28001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
4	3	3adant2 1100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
5	2, 4	eqeq12d 2666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
6		neg1cn 11162	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7		hvmulcl 27998	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8	6, 7	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
9		hvmulcl 27998	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
10	6, 9	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvaddcan 28055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	syl3an3 1401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
13	8, 12	syl3an2 1400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ↔ (-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶)))
14		neg1ne0 11164	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
15	6, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0)
16		hvmulcan 28057	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
17	15, 16	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
18	17	3adant1 1099	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	5, 13, 18	3bitrd 294	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 −ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305   ℋchil 27904   +_ℎ cva 27905   ·_ℎ csm 27906   −_ℎ cmv 27910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-hvsub 27956

This theorem is referenced by:  hvsubcan2  28060