HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcl 27040
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 27039 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2 neg1cn 10882 . . . 4 -1 ∈ ℂ
3 hvmulcl 27036 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
42, 3mpan 701 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 27035 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
64, 5sylan2 489 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
71, 6eqeltrd 2592 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  (class class class)co 6431  cc 9693  1c1 9696  -cneg 10021  chil 26942   + cva 26943   · csm 26944   cmv 26948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-hfvadd 27023  ax-hfvmul 27028
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-ltxr 9838  df-sub 10022  df-neg 10023  df-hvsub 26994
This theorem is referenced by:  hvsubcli  27044  hvmulcan  27095  hvsubcan2  27098  hvaddsub4  27101  his2sub2  27116  hi2eq  27128  hial2eq  27129  hhph  27201  pjhthlem1  27416  pjhthlem2  27417  chscllem2  27663  5oalem2  27680  5oalem3  27681  5oalem5  27683  3oalem2  27688  hodcl  27772  hosubcli  27794  unopf1o  27941  lnopeq0i  28032  lnconi  28058  riesz3i  28087  riesz4i  28088  hmopidmpji  28177  pjclem4  28224  pj3si  28232  cdj1i  28458
  Copyright terms: Public domain W3C validator