HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcl 27858
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 27857 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2 neg1cn 11121 . . . 4 -1 ∈ ℂ
3 hvmulcl 27854 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
42, 3mpan 706 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 27853 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
64, 5sylan2 491 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
71, 6eqeltrd 2700 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  (class class class)co 6647  cc 9931  1c1 9934  -cneg 10264  chil 27760   + cva 27761   · csm 27762   cmv 27766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-hfvadd 27841  ax-hfvmul 27846
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-ltxr 10076  df-sub 10265  df-neg 10266  df-hvsub 27812
This theorem is referenced by:  hvsubcli  27862  hvmulcan  27913  hvsubcan2  27916  hvaddsub4  27919  his2sub2  27934  hi2eq  27946  hial2eq  27947  hhph  28019  pjhthlem1  28234  pjhthlem2  28235  chscllem2  28481  5oalem2  28498  5oalem3  28499  5oalem5  28501  3oalem2  28506  hodcl  28590  hosubcli  28612  unopf1o  28759  lnopeq0i  28850  lnconi  28876  riesz3i  28905  riesz4i  28906  hmopidmpji  28995  pjclem4  29042  pj3si  29050  cdj1i  29276
  Copyright terms: Public domain W3C validator