HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcl 28721
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 28720 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2 neg1cn 11739 . . . 4 -1 ∈ ℂ
3 hvmulcl 28717 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
42, 3mpan 686 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → (-1 · 𝐵) ∈ ℋ)
5 hvaddcl 28716 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
64, 5sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ)
71, 6eqeltrd 2910 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526  -cneg 10859  chba 28623   + cva 28624   · csm 28625   cmv 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hfvadd 28704  ax-hfvmul 28709
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-hvsub 28675
This theorem is referenced by:  hvsubcli  28725  hvmulcan  28776  hvsubcan2  28779  hvaddsub4  28782  his2sub2  28797  hi2eq  28809  hial2eq  28810  hhph  28882  pjhthlem1  29095  pjhthlem2  29096  chscllem2  29342  5oalem2  29359  5oalem3  29360  5oalem5  29362  3oalem2  29367  hodcl  29451  hosubcli  29473  unopf1o  29620  lnopeq0i  29711  lnconi  29737  riesz3i  29766  riesz4i  29767  hmopidmpji  29856  pjclem4  29903  pj3si  29911  cdj1i  30137
  Copyright terms: Public domain W3C validator