HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0 27909
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvsubeq0
StepHypRef Expression
1 oveq1 6654 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21eqeq1d 2623 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0))
3 eqeq1 2625 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵))
42, 3bibi12d 335 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵)))
5 oveq2 6655 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
65eqeq1d 2623 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0))
7 eqeq2 2632 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
86, 7bibi12d 335 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = 𝐵) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
9 ifhvhv0 27863 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
10 ifhvhv0 27863 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
119, 10hvsubeq0i 27904 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
124, 8, 11dedth2h 4138 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  ifcif 4084  (class class class)co 6647  chil 27760  0c0v 27765   cmv 27766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-hvcom 27842  ax-hvass 27843  ax-hv0cl 27844  ax-hvaddid 27845  ax-hfvmul 27846  ax-hvmulid 27847  ax-hvdistr2 27850  ax-hvmul0 27851
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-ltxr 10076  df-sub 10265  df-neg 10266  df-hvsub 27812
This theorem is referenced by:  hvaddeq0  27910  hvmulcan  27913  hvmulcan2  27914  hi2eq  27946  shuni  28143  unopf1o  28759  riesz4i  28906  hmopidmchi  28994  cdjreui  29275
  Copyright terms: Public domain W3C validator