Theorem hvsubeq0 8925

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ A ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0	⊢ ((A −h B) = 0h ↔ A = B)

Proof of Theorem hvsubeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubval 8885	. . . . 5 ⊢ (A −h B) = (A +h (-1 ·h B))
4	3	eqeq1i 1485	. . . 4 ⊢ ((A −h B) = 0h ↔ (A +h (-1 ·h B)) = 0h)
5		opreq1 3974	. . . 4 ⊢ ((A +h (-1 ·h B)) = 0h → ((A +h (-1 ·h B)) +h B) = (0h +h B))
6	4, 5	sylbi 199	. . 3 ⊢ ((A −h B) = 0h → ((A +h (-1 ·h B)) +h B) = (0h +h B))
7		ax1cn 5281	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	7	negcl 5381	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2	hvmulcl 8879	. . . . 5 ⊢ (-1 ·h B) ∈ ℋ
10	1, 9, 2	hvadd23 8916	. . . 4 ⊢ ((A +h (-1 ·h B)) +h B) = ((A +h B) +h (-1 ·h B))
11	1, 2, 9	hvass 8915	. . . 4 ⊢ ((A +h B) +h (-1 ·h B)) = (A +h (B +h (-1 ·h B)))
12	2	hvnegid 8894	. . . . . 6 ⊢ (B +h (-1 ·h B)) = 0h
13	12	opreq2i 3978	. . . . 5 ⊢ (A +h (B +h (-1 ·h B))) = (A +h 0h)
14		ax-hvaddid 8869	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → (A +h 0h) = A)
15	1, 14	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (A +h 0h) = A
16	13, 15	eqtr 1498	. . . 4 ⊢ (A +h (B +h (-1 ·h B))) = A
17	10, 11, 16	3eqtr 1502	. . 3 ⊢ ((A +h (-1 ·h B)) +h B) = A
18	2	hvaddid2 8893	. . 3 ⊢ (0h +h B) = B
19	6, 17, 18	3eqtr3g 1533	. 2 ⊢ ((A −h B) = 0h → A = B)
20		opreq1 3974	. . 3 ⊢ (A = B → (A −h B) = (B −h B))
21		hvsubidt 8890	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℋ → (B −h B) = 0h)
22	2, 21	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (B −h B) = 0h
23	20, 22	syl6eq 1526	. 2 ⊢ (A = B → (A −h B) = 0h)
24	19, 23	impbi 157	1 ⊢ ((A −h B) = 0h ↔ A = B)

Syntax hints:   ↔ wb 146   = wceq 958   ∈ wcel 960  (class class class)co 3969  1c1 5247  -cneg 5305   ℋ chil 8783   +_h cva 8784   ·_h csm 8785  0_hc0v 8786   −_h cmv 8787

This theorem is referenced by:  hvsubeq0t 8930  bcseq 8981  normsub0 8997  hlimunii 9103  pjss2 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain