HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubf 27739
Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubf :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ

Proof of Theorem hvsubf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11075 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 27737 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (-1 · 𝑦) ∈ ℋ)
31, 2mpan 705 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → (-1 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 27736 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) ∈ ℋ)
53, 4sylan2 491 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) ∈ ℋ)
65rgen2a 2972 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + (-1 · 𝑦)) ∈ ℋ
7 df-hvsub 27695 . . 3 = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
87fmpt2 7189 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 + (-1 · 𝑦)) ∈ ℋ ↔ − :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ)
96, 8mpbi 220 1 :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wral 2907   × cxp 5077  wf 5848  (class class class)co 6610  cc 9885  1c1 9888  -cneg 10218  chil 27643   + cva 27644   · csm 27645   cmv 27649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-hfvadd 27724  ax-hfvmul 27729
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-hvsub 27695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator