HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubid 27049
Description: Subtraction of a vector from itself. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubid (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hvsubid
StepHypRef Expression
1 ax-hvmulid 27029 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21oveq1d 6446 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
3 ax-1cn 9753 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 neg1cn 10882 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 ax-hvdistr2 27032 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
63, 4, 5mp3an12 1405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → ((1 + -1) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + (-1 · 𝐴)))
7 hvsubval 27039 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
87anidms 674 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (𝐴 + (-1 · 𝐴)))
92, 6, 83eqtr4rd 2559 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = ((1 + -1) · 𝐴))
10 1pneg1e0 10887 . . . 4 (1 + -1) = 0
1110oveq1i 6441 . . 3 ((1 + -1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
129, 11syl6eq 2564 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = (0 · 𝐴))
13 ax-hvmul0 27033 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 · 𝐴) = 0)
1412, 13eqtrd 2548 1 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  (class class class)co 6431  cc 9693  0cc0 9695  1c1 9696   + caddc 9698  -cneg 10021  chil 26942   + cva 26943   · csm 26944  0c0v 26947   cmv 26948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-hvmulid 27029  ax-hvdistr2 27032  ax-hvmul0 27033
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-ltxr 9838  df-sub 10022  df-neg 10023  df-hvsub 26994
This theorem is referenced by:  hvnegid  27050  hvsubeq0i  27086  hvaddsub4  27101  norm3difi  27170  5oalem1  27679  5oalem2  27680  5oalem3  27681  5oalem5  27683  3oalem2  27688  pjsslem  27704  ho0val  27775  lnop0  27991  0cnop  28004  pjclem4  28224  pj3si  28232
  Copyright terms: Public domain W3C validator