HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubsub4 27887
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)))

Proof of Theorem hvsubsub4
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21oveq1d 6650 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)))
3 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶))
43oveq1d 6650 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)))
52, 4eqeq12d 2635 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷))))
6 oveq2 6643 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
76oveq1d 6650 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)))
8 oveq1 6642 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))
98oveq2d 6651 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)))
107, 9eqeq12d 2635 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (𝐵 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))))
11 oveq1 6642 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (𝐶 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷))
1211oveq2d 6651 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)))
13 oveq2 6643 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1413oveq1d 6650 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)))
1512, 14eqeq12d 2635 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (𝐶 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷))))
16 oveq2 6643 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
1716oveq2d 6651 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))))
18 oveq2 6643 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
1918oveq2d 6651 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))))
2017, 19eqeq12d 2635 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − 𝐷)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − 𝐷)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))))
21 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
22 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
23 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
24 ifhvhv0 27849 . . 3 if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0) ∈ ℋ
2521, 22, 23, 24hvsubsub4i 27886 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) − (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)) − (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) − if(𝐷 ∈ ℋ, 𝐷, 0)))
265, 10, 15, 20, 25dedth4h 4133 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  ifcif 4077  (class class class)co 6635  chil 27746  0c0v 27751   cmv 27752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hfvmul 27832  ax-hvdistr1 27835
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254  df-hvsub 27798
This theorem is referenced by:  chscllem2  28467  5oalem3  28485  5oalem5  28487
  Copyright terms: Public domain W3C validator