MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hypcgrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hypcgrlem1 25591
Description: Lemma for hypcgr 25593, case where triangles share a cathetus. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hypcgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hypcgr.m = (dist‘𝐺)
hypcgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hypcgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hypcgr.h (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
hypcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
hypcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
hypcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
hypcgr.d (𝜑𝐷𝑃)
hypcgr.e (𝜑𝐸𝑃)
hypcgr.f (𝜑𝐹𝑃)
hypcgr.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
hypcgr.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
hypcgr.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
hypcgrlem2.b (𝜑𝐵 = 𝐸)
hypcgrlem1.s 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
hypcgrlem1.a (𝜑𝐶 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
hypcgrlem1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))

Proof of Theorem hypcgrlem1
StepHypRef Expression
1 hypcgr.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hypcgr.m . . 3 = (dist‘𝐺)
3 hypcgr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hypcgr.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hypcgr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐶𝑃)
8 hypcgr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 hypcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹𝑃)
12 hypcgr.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷𝑃)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
15 eqid 2621 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
16 hypcgr.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
17 hypcgr.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
181, 2, 3, 14, 15, 4, 8, 16, 6, 17ragcom 25493 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
191, 2, 3, 14, 15, 4, 6, 16, 8israg 25492 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))))
2018, 19mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
22 hypcgrlem1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = 𝐹)
2322eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = 𝐶)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐹 = 𝐶)
25 hypcgr.h . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
261, 2, 3, 4, 25, 8, 12, 15, 16ismidb 25570 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵))
2726biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴))
2824, 27oveq12d 6622 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐹 𝐷) = (𝐶 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐴)))
2921, 28eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
301, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29tgcgrcomlr 25275 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
31 simpr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐴 = 𝐷)
3222ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → 𝐶 = 𝐹)
3331, 32oveq12d 6622 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
3417ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
354ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
368ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3716ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
386ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
391, 2, 3, 14, 15, 35, 36, 37, 38israg 25492 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
4034, 39mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
4125ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐺DimTarskiG≥2)
42 hypcgrlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((lInvG‘𝐺)‘((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
4312ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝑃)
441, 2, 3, 35, 41, 36, 43midcl 25569 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ 𝑃)
45 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵)
461, 3, 14, 35, 44, 37, 45tgelrnln 25425 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∈ ran (LineG‘𝐺))
47 eqid 2621 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐵) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐵)
48 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
491, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 47, 38mircl 25456 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
50 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
511, 2, 3, 35, 41, 36, 43midbtwn 25571 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐴𝐼𝐷))
521, 14, 3, 35, 36, 44, 43, 51btwncolg3 25352 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) ∨ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
53 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 = 𝐷)
54 hypcgrlem2.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = 𝐸)
5553, 54, 22s3eqd 13546 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
5655ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
57 hypcgr.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5857ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
5956, 58eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
601, 2, 3, 14, 15, 35, 43, 37, 38israg 25492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐷𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6159, 60mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
621, 14, 3, 35, 36, 43, 44, 48, 38, 49, 2, 50, 52, 40, 61lncgr 25364 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
631, 2, 3, 14, 15, 35, 44, 37, 38israg 25492 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) 𝐶) = ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷) (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))))
6462, 63mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
651, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx1 25428 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
661, 3, 14, 35, 44, 37, 45tglinerflx2 25429 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
671, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 44, 47, 64, 65, 66, 38, 45lmimid 25586 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝑆𝐶) = (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶))
6867oveq2d 6620 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐴 (((pInvG‘𝐺)‘𝐵)‘𝐶)))
6940, 68eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 (𝑆𝐶)))
701, 2, 3, 35, 41, 43, 36midcom 25574 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
7170, 65eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵))
7250necomd 2845 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷𝐴)
731, 3, 14, 35, 43, 36, 72tgelrnln 25425 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∈ ran (LineG‘𝐺))
741, 2, 3, 35, 36, 44, 43, 51tgbtwncom 25283 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷𝐼𝐴))
751, 3, 14, 35, 43, 36, 44, 72, 74btwnlng1 25414 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7665, 75elind 3776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ∈ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∩ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴)))
771, 3, 14, 35, 43, 36, 72tglinerflx2 25429 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
7845necomd 2845 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐵 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
794ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
808ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴𝑃)
8112ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐷𝑃)
8225ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
83 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
8483eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = 𝐴)
851, 2, 3, 79, 82, 80, 81, 84midcgr 25572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐴) = (𝐴 𝐷))
8685eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → (𝐴 𝐷) = (𝐴 𝐴))
871, 2, 3, 79, 80, 81, 80, 86axtgcgrid 25262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)) → 𝐴 = 𝐷)
8887ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) → 𝐴 = 𝐷))
8988necon3d 2811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴𝐷𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9089imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ≠ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
91 hypcgr.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝑃)
92 hypcgr.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
931, 2, 3, 4, 8, 16, 12, 91, 92tgcgrcomlr 25275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
9454oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐸 𝐷))
9593, 94eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
9695ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐷))
97 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷))
981, 2, 3, 35, 41, 36, 43, 15, 44ismidb 25570 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐷)))
9997, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐷 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))
10099oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
10196, 100eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴)))
1021, 2, 3, 14, 15, 35, 37, 44, 36israg 25492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐵 (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐷))‘𝐴))))
103101, 102mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ⟨“𝐵(𝐴(midG‘𝐺)𝐷)𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1041, 2, 3, 14, 35, 46, 73, 76, 66, 77, 78, 90, 103ragperp 25512 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴))
105104orcd 407 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))
1061, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 36islmib 25579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 = (𝑆𝐷) ↔ ((𝐷(midG‘𝐺)𝐴) ∈ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵) ∧ (((𝐴(midG‘𝐺)𝐷)(LineG‘𝐺)𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐷(LineG‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐷 = 𝐴))))
10771, 105, 106mpbir2and 956 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 = (𝑆𝐷))
108107oveq1d 6619 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)))
1091, 2, 3, 35, 41, 42, 14, 46, 43, 38lmiiso 25589 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → ((𝑆𝐷) (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐶))
11022oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
111110ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐷 𝐶) = (𝐷 𝐹))
112108, 109, 1113eqtrd 2659 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 (𝑆𝐶)) = (𝐷 𝐹))
11369, 112eqtrd 2655 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11433, 113pm2.61dane 2877 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝐷) ≠ 𝐵) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
11530, 114pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  2c2 11014  ⟨“cs3 13524  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  DimTarskiGcstrkgld 25233  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  cgrGccgrg 25305  pInvGcmir 25447  ∟Gcrag 25488  ⟂Gcperpg 25490  midGcmid 25564  lInvGclmi 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkgld 25251  df-trkg 25252  df-cgrg 25306  df-leg 25378  df-mir 25448  df-rag 25489  df-perpg 25491  df-mid 25566  df-lmi 25567
This theorem is referenced by:  hypcgrlem2  25592
  Copyright terms: Public domain W3C validator