MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f1 23180
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
21i1f1lem 23179 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
32simpli 472 . . . 4 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
4 0re 9896 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
6 prssi 4292 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {0, 1} ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 703 . . . 4 {0, 1} ⊆ ℝ
8 fss 5955 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ {0, 1} ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
93, 7, 8mp2an 703 . . 3 𝐹:ℝ⟶ℝ
109a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
11 prfi 8097 . . 3 {0, 1} ∈ Fin
12 1ex 9891 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1312prid2 4241 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1}
14 c0ex 9890 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514prid1 4240 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1}
1613, 15keepel 4104 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1817, 1fmptd 6277 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
19 frn 5952 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
21 ssfi 8042 . . 3 (({0, 1} ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}) → ran 𝐹 ∈ Fin)
2211, 20, 21sylancr 693 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → ran 𝐹 ∈ Fin)
233, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
24 df-pr 4127 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
2524equncomi 3720 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = ({1} ∪ {0})
2623, 25sseqtri 3599 . . . . . . . . . 10 ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0})
27 ssdif 3706 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ⊆ ({1} ∪ {0}) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (({1} ∪ {0}) ∖ {0})
29 difun2 3999 . . . . . . . . . 10 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) = ({1} ∖ {0})
30 difss 3698 . . . . . . . . . 10 ({1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30eqsstri 3597 . . . . . . . . 9 (({1} ∪ {0}) ∖ {0}) ⊆ {1}
3228, 31sstri 3576 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3332sseli 3563 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ {1})
34 elsni 4141 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 = 1)
3635sneqd 4136 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → {𝑦} = {1})
3736imaeq2d 5372 . . . 4 (𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → (𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹 “ {1}))
382simpri 476 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
3938adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
4037, 39sylan9eqr 2665 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) = 𝐴)
41 simpll 785 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
4240, 41eqeltrd 2687 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
4340fveq2d 6092 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol‘𝐴))
44 simplr 787 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrd 2687 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
4610, 22, 42, 45i1fd 23171 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124  {cpr 4126  cmpt 4637  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  volcvol 22956  1citg1 23107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-xmet 19506  df-met 19507  df-ovol 22957  df-vol 22958  df-mbf 23111  df-itg1 23112
This theorem is referenced by:  itg11  23181  itg2const  23230  itg2addnclem  32427
  Copyright terms: Public domain W3C validator