MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f1lem 23362
Description: Lemma for i1f1 23363 and itg11 23364. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
i1f1lem (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9979 . . . . . 6 1 ∈ V
21prid2 4268 . . . . 5 1 ∈ {0, 1}
3 c0ex 9978 . . . . . 6 0 ∈ V
43prid1 4267 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
52, 4keepel 4127 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
65rgenw 2919 . . 3 𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
7 i1f1.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
87fmpt 6337 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1} ↔ 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
96, 8mpbi 220 . 2 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
1110, 7fmptd 6340 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐹:ℝ⟶{0, 1})
12 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
13 elpreima 6293 . . . . . 6 (𝐹 Fn ℝ → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1})))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1})))
15 fvex 6158 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
1615elsn 4163 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) ∈ {1} ↔ (𝐹𝑦) = 1)
17 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817ifbid 4080 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
191, 3ifex 4128 . . . . . . . . . 10 if(𝑦𝐴, 1, 0) ∈ V
2018, 7, 19fvmpt 6239 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
2120eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) = 1 ↔ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1))
22 0ne1 11032 . . . . . . . . . . 11 0 ≠ 1
23 iffalse 4067 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 0)
2423eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐴 → (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 = 1))
2524necon3bbid 2827 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐴 → (¬ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 0 ≠ 1))
2622, 25mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐴 → ¬ if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
2726con4i 113 . . . . . . . . 9 (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 → 𝑦𝐴)
28 iftrue 4064 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
2927, 28impbii 199 . . . . . . . 8 (if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑦𝐴)
3021, 29syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) = 1 ↔ 𝑦𝐴))
3116, 30syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝑦) ∈ {1} ↔ 𝑦𝐴))
3231pm5.32i 668 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴))
3314, 32syl6bb 276 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
34 mblss 23206 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3534sseld 3582 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
3635pm4.71rd 666 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
3733, 36bitr4d 271 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑦 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ 𝑦𝐴))
3837eqrdv 2619 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
399, 38pm3.2i 471 1 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  volcvol 23139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-ovol 23140  df-vol 23141
This theorem is referenced by:  i1f1  23363  itg11  23364
  Copyright terms: Public domain W3C validator