Theorem i1ff 24276

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 24274	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1138	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  {csn 4566  ^◡ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555   “ cima 5557  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  Fincfn 8508  ℝcr 10535  0cc0 10536  volcvol 24063  MblFncmbf 24214  ∫₁citg1 24215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-sum 15042  df-itg1 24220

This theorem is referenced by:  i1fima  24278  i1fima2  24279  i1f0rn  24282  itg1val2  24284  itg1cl  24285  itg1ge0  24286  i1faddlem  24293  i1fmullem  24294  i1fadd  24295  i1fmul  24296  itg1addlem4  24299  itg1addlem5  24300  i1fmulclem  24302  i1fmulc  24303  itg1mulc  24304  i1fres  24305  i1fpos  24306  i1fposd  24307  i1fsub  24308  itg1sub  24309  itg10a  24310  itg1ge0a  24311  itg1lea  24312  itg1le  24313  itg1climres  24314  mbfi1fseqlem5  24319  mbfi1fseqlem6  24320  mbfi1flimlem  24322  mbfmullem2  24324  itg2itg1  24336  itg20  24337  itg2le  24339  itg2seq  24342  itg2uba  24343  itg2lea  24344  itg2mulclem  24346  itg2splitlem  24348  itg2split  24349  itg2monolem1  24350  itg2i1fseqle  24354  itg2i1fseq  24355  itg2addlem  24358  i1fibl  24407  itgitg1  24408  itg2addnclem  34942  itg2addnclem2  34943  itg2addnclem3  34944  itg2addnc  34945  ftc1anclem3  34968  ftc1anclem4  34969  ftc1anclem5  34970  ftc1anclem6  34971  ftc1anclem7  34972  ftc1anclem8  34973  ftc1anc  34974