MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fima 23644
Description: Any preimage of a simple function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fima (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem i1fima
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 23642 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 ffun 6209 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → Fun 𝐹)
3 inpreima 6505 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)))
4 iunid 4727 . . . . . 6 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦} = (𝐴 ∩ ran 𝐹)
54imaeq2i 5622 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹))
6 imaiun 6666 . . . . 5 (𝐹 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹){𝑦}) = 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦})
75, 6eqtr3i 2784 . . . 4 (𝐹 “ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) = 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦})
8 cnvimass 5643 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
9 cnvimarndm 5644 . . . . . 6 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
108, 9sseqtr4i 3779 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹)
11 df-ss 3729 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹 “ ran 𝐹) ↔ ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴))
1210, 11mpbi 220 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∩ (𝐹 “ ran 𝐹)) = (𝐹𝐴)
133, 7, 123eqtr3g 2817 . . 3 (Fun 𝐹 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹𝐴))
141, 2, 133syl 18 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) = (𝐹𝐴))
15 i1frn 23643 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
16 inss2 3977 . . . 4 (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹
17 ssfi 8345 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ran 𝐹) → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 697 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin)
19 i1fmbf 23641 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
2019adantr 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹 ∈ MblFn)
211adantr 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 frn 6214 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
231, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
2416, 23syl5ss 3755 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐴 ∩ ran 𝐹) ⊆ ℝ)
2524sselda 3744 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 mbfimasn 23600 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
2720, 21, 25, 26syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
2827ralrimiva 3104 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
29 finiunmbl 23512 . . 3 (((𝐴 ∩ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
3018, 28, 29syl2anc 696 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ ran 𝐹)(𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
3114, 30eqeltrrd 2840 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cin 3714  wss 3715  {csn 4321   ciun 4672  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  Fincfn 8121  cr 10127  volcvol 23432  MblFncmbf 23582  1citg1 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588
This theorem is referenced by:  i1fima2  23645  itg1ge0  23652  i1fadd  23661  i1fmul  23662  itg1addlem2  23663  itg1addlem4  23665  itg1addlem5  23666  i1fmulc  23669  i1fres  23671  i1fpos  23672  itg1ge0a  23677  itg1climres  23680  itg2addnclem  33774  itg2addnclem2  33775  ftc1anclem3  33800  ftc1anclem6  33803
  Copyright terms: Public domain W3C validator