Theorem i1fres 24305

Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fres.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fres	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 24276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffnd 6514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4		fnfvelrn 6847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sylan 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
6		i1f0rn 24282	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
7	6	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
8	5, 7	ifcld 4511	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9		i1fres.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
10	8, 9	fmptd 6877	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
11	2	frnd 6520	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6527	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		i1frn 24277	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	13	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	10	frnd 6520	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	ssfid 8740	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18		fveq2 6669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
19	17, 18	ifbieq1d 4489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
20		fvex 6682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
21		c0ex 10634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ∈ V
23	19, 9, 22	fvmpt 6767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
25	24	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦))
26		eldifsni 4721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
27	26	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
28	27	necomd 3071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29		iffalse 4475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 0)
30	29	neeq1d 3075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
31	28, 30	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦))
32	31	necon4bd 3036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐴))
33	32	pm4.71rd 565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
34	25, 33	bitrd 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
35		iftrue 4472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = (𝐹‘𝑧))
36	35	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
37	36	pm5.32i 577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
38	34, 37	syl6bb 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
39	38	pm5.32da 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
40		an12 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
41	39, 40	syl6bb 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
42	10	ffnd 6514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
43	42	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44		fniniseg 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
46	3	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47		fniniseg 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
49	48	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
50	41, 45, 49	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
51		elin 4168	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})))
52	50, 51	syl6bbr 291	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
53	52	eqrdv 2819	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})))
54		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55		i1fima 24278	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
56	55	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57		inmbl 24142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
58	54, 56, 57	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
59	53, 58	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
60	53	fveq2d 6673	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
61		mblvol 24130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
62	58, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
63	60, 62	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
64		inss2 4205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦})
65		mblss 24131	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
66	56, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67		mblvol 24130	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
68	56, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
69		i1fima2sn 24280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
70	69	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
71	68, 70	eqeltrrd 2914	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72		ovolsscl 24086	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
73	64, 66, 71, 72	mp3an2i 1462	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
74	63, 73	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
75	12, 16, 59, 74	i1fd 24281	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ifcif 4466  {csn 4566   ↦ cmpt 5145  ^◡ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555   “ cima 5557   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  Fincfn 8508  ℝcr 10535  0cc0 10536  vol*covol 24062  volcvol 24063  ∫₁citg1 24215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-rest 16695  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-cmp 21994  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220

This theorem is referenced by:  i1fpos  24306  itg1climres  24314  itg2uba  24343  itg2splitlem  24348  itg2monolem1  24350  ftc1anclem5  34970  ftc1anclem7  34972