MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1frn 23425
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 23422 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 480 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
32simp2d 1072 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036  wcel 1988  cdif 3564  {csn 4168  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cima 5107  wf 5872  cfv 5876  Fincfn 7940  cr 9920  0cc0 9921  volcvol 23213  MblFncmbf 23364  1citg1 23365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-sum 14398  df-itg1 23370
This theorem is referenced by:  i1fima  23426  itg1cl  23433  itg1ge0  23434  i1fadd  23443  i1fmul  23444  itg1addlem4  23447  itg1addlem5  23448  i1fmulc  23451  itg1mulc  23452  i1fres  23453  itg10a  23458  itg1ge0a  23459  itg1climres  23462  itg2addnclem2  33433  ftc1anclem3  33458  ftc1anclem6  33461  ftc1anclem7  33462  ftc1anc  33464
  Copyright terms: Public domain W3C validator