MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iaa 23798
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9848 . 2 i ∈ ℂ
2 cnex 9870 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℂ ∈ V)
4 sqcl 12739 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
54adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 9847 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8 eqidd 2607 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9 fconstmpt 5072 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
109a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
113, 5, 7, 8, 10offval2 6786 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘𝑓 + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12 zsscn 11215 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
13 1z 11237 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 2nn0 11153 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
15 plypow 23679 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
1612, 13, 14, 15mp3an 1415 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18 plyconst 23680 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
1912, 13, 18mp2an 703 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21 zaddcl 11247 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2221adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2317, 20, 22plyadd 23691 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘𝑓 + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
2411, 23eqeltrrd 2685 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
2524trud 1483 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26 0cn 9885 . . . . 5 0 ∈ ℂ
27 sq0i 12770 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
2827oveq1d 6539 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29 0p1e1 10976 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3028, 29syl6eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32 1ex 9888 . . . . . . . 8 1 ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6173 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35 ax-1ne0 9858 . . . . . 6 1 ≠ 0
3634, 35eqnetri 2848 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37 ne0p 23681 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
3826, 36, 37mp2an 703 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39 eldifsn 4256 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
4025, 38, 39mpbir2an 956 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41 oveq1 6531 . . . . . . . 8 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42 i2 12779 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
4341, 42syl6eq 2656 . . . . . . 7 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
4443oveq1d 6539 . . . . . 6 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45 neg1cn 10968 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
46 1pneg1e0 10973 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
476, 45, 46addcomli 10076 . . . . . 6 (-1 + 1) = 0
4844, 47syl6eq 2656 . . . . 5 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49 c0ex 9887 . . . . 5 0 ∈ V
5048, 31, 49fvmpt 6173 . . . 4 (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
511, 50ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52 fveq1 6084 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
5352eqeq1d 2608 . . . 4 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
5453rspcev 3278 . . 3 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
5540, 51, 54mp2an 703 . 2 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56 elaa 23789 . 2 (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
571, 55, 56mpbir2an 956 1 i ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2776  wrex 2893  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  {csn 4121  cmpt 4634   × cxp 5023  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790  ici 9791   + caddc 9792  -cneg 10115  2c2 10914  0cn0 11136  cz 11207  cexp 12674  0𝑝c0p 23156  Polycply 23658  𝔸caa 23787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-sum 14208  df-0p 23157  df-ply 23662  df-aa 23788
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator