Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnc 33141
 Description: Choice-free analogue of iblabs 23518. As with ibladdnc 33134, a measurability hypothesis is needed. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblabsnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnc
StepHypRef Expression
1 iblabsnc.m . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
2 iblabsnc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
3 iblmbf 23457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 iblabsnc.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
64, 5mbfmptcl 23327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
76abscld 14117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
87rexrd 10041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
96absge0d 14125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
10 elxrge0 12231 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
118, 9, 10sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 0e0iccpnf 12233 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
1312a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1411, 13ifclda 4097 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
16 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
1715, 16fmptd 6346 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
18 reex 9979 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
206recld 13876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
2120recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
2221abscld 14117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
2321absge0d 14125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
24 elrege0 12228 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
2522, 23, 24sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
26 0e0icopnf 12232 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
2825, 27ifclda 4097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
306imcld 13877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3130recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
3231abscld 14117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
3331absge0d 14125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
34 elrege0 12228 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
3532, 33, 34sylanbrc 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
3635, 27ifclda 4097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
3736adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
38 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
39 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
4019, 29, 37, 38, 39offval2 6874 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
41 iftrue 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
42 iftrue 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
4341, 42oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
44 iftrue 4069 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
4543, 44eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
46 00id 10163 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
47 iffalse 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
48 iffalse 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
4947, 48oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
50 iffalse 4072 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
5146, 49, 503eqtr4a 2681 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
5245, 51pm2.61i 176 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
5352mpteq2i 4706 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
5440, 53syl6req 2672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
5554fveq2d 6157 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
56 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
576iblcn 23488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
582, 57mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
5958simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
605, 2, 56, 59, 20iblabsnclem 33140 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
6160simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
6229, 56fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
6360simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
64 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
6537, 64fmptd 6346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
6658simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
675, 2, 64, 66, 30iblabsnclem 33140 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
6867simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
6961, 62, 63, 65, 68itg2addnc 33131 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
7055, 69eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
7163, 68readdcld 10021 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
7270, 71eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
7322, 32readdcld 10021 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
7473rexrd 10041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ*)
7522, 32, 23, 33addge0d 10555 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
76 elxrge0 12231 . . . . . . . 8 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
7774, 75, 76sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
7877, 13ifclda 4097 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
7978adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
80 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
8179, 80fmptd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
82 ax-icn 9947 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
83 mulcl 9972 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
8482, 31, 83sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
8521, 84abstrid 14137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
86 iftrue 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
8786adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
886replimd 13879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
8988fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
9087, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
9144adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
92 absmul 13976 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
9382, 31, 92sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
94 absi 13968 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘i) = 1
9594oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9632recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
9796mulid2d 10010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9895, 97syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
9993, 98eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
10099oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
10191, 100eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
10285, 90, 1013brtr4d 4650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
103102ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
104 0le0 11062 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
105104a1i 11 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
106 iffalse 4072 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
107105, 106, 503brtr4d 4650 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
108103, 107pm2.61d1 171 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
109108ralrimivw 2962 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
110 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
111 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
11219, 15, 79, 110, 111ofrfval2 6875 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
113109, 112mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
114 itg2le 23429 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
11517, 81, 113, 114syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
116 itg2lecl 23428 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
11717, 72, 115, 116syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
1187, 9iblpos 23482 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
1191, 117, 118mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3189  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ∘𝑓 cof 6855   ∘𝑟 cofr 6856  ℂcc 9886  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023  ℝ*cxr 10025   ≤ cle 10027  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  ℜcre 13779  ℑcim 13780  abscabs 13916  MblFncmbf 23306  ∫2citg2 23308  𝐿1cibl 23309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-rest 16015  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cmp 21113  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312  df-itg2 23313  df-ibl 23314  df-0p 23360 This theorem is referenced by:  itgabsnc  33146  ftc1cnnclem  33150  ftc1anclem2  33153  ftc1anclem4  33155  ftc1anclem5  33156  ftc2nc  33161
 Copyright terms: Public domain W3C validator