Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnclem 33778
Description: Lemma for iblabsnc 33779; cf. iblabslem 23785. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabsnclem.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 23748 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1136 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 23596 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 23491 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 23500 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
123recnd 10252 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 14366 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
14 0re 10224 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4266 . . . . 5 (((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 697 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 3868 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4231 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 iftrue 4228 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2221mpteq2ia 4884 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
23 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2413, 23fmptd 6540 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))):𝐴⟶ℝ)
2513adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2625biantrurd 530 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
273adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
28 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
2927, 28absled 14360 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3029notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3128, 25ltnled 10368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦))
32 renegcl 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3332rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 12453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3727biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3828renegcld 10641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
3927, 38ltnled 10368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
4036, 37, 393bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
41 rexr 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
43 elioopnf 12452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4527biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4628, 27ltnled 10368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4744, 45, 463bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4840, 47orbi12d 748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
49 ianor 510 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
5048, 49syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
5130, 31, 503bitr4rd 301 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵))))
52 elioopnf 12452 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5342, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5426, 51, 533bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5554rabbidva 3320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))})
5623mptpreima 5781 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))
5857mptpreima 5781 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 5781 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 3900 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 4033 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2774 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6355, 56, 623eqtr4g 2811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 23725 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
663, 57fmptd 6540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ)
67 mbfima 23590 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 23590 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 23497 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 12453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7542, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7625biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7727, 28absltd 14359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7927biantrurd 530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
81 3anass 1081 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8280, 81syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
83 elioo2 12401 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8433, 41, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8584ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8823mptpreima 5781 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 5781 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 23590 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9524, 7, 73, 94ismbf2d 23599 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
9622, 95syl5eqel 2835 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 23604 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97syl5eqel 2835 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 10211 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
101 ifan 4270 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
102 ifcl 4266 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
104 max1 12201 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
10514, 3, 104sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
106 elrege0 12463 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 12467 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110syl5eqel 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4270 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
1143renegcld 10641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
115 ifcl 4266 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
117 max1 12201 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
11814, 114, 117sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
119 elrege0 12463 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121syl5eqel 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2753 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
125 eqidd 2753 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 7071 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
127101, 113oveq12i 6817 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
128 max0add 14241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
130 iftrue 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
131130adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
132 iftrue 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
134131, 133oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
13521adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
137136ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
138 00id 10395 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4231 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4231 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2812 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
143137, 142pm2.61d1 171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
144127, 143syl5eq 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
145144mpteq2dv 4889 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
146126, 145eqtrd 2786 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
147146, 1syl6reqr 2805 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
148147fveq2d 6348 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
149111adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139syl5eq 2798 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
152 ibar 526 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
153152ifbid 4244 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
154153mpteq2ia 4884 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
1553, 6mbfpos 23609 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155syl5eqelr 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 23604 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
158 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
159112, 158fmptd 6540 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1605simp2d 1137 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
161 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
162123, 161fmptd 6540 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1635simp3d 1138 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 33769 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
165148, 164eqtrd 2786 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
166160, 163readdcld 10253 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
167165, 166eqeltrd 2831 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16898, 167jca 555 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  cun 3705  wss 3707  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ccnv 5257  dom cdm 5258  cima 5261  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052  cr 10119  0cc0 10120   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  -∞cmnf 10256  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  -cneg 10451  (,)cioo 12360  [,)cico 12362  abscabs 14165  volcvol 23424  MblFncmbf 23574  2citg2 23576  𝐿1cibl 23577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-rest 16277  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-cmp 21384  df-ovol 23425  df-vol 23426  df-mbf 23579  df-itg1 23580  df-itg2 23581  df-ibl 23582  df-0p 23628
This theorem is referenced by:  iblabsnc  33779  iblmulc2nc  33780
  Copyright terms: Public domain W3C validator