Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnclem 33091
 Description: Lemma for iblabsnc 33092; cf. iblabslem 23495. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabsnclem.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 23458 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 23306 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 23201 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 23210 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
123recnd 10013 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 14104 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
14 0re 9985 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4107 . . . . 5 (((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 3716 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4072 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2221mpteq2ia 4705 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
23 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2413, 23fmptd 6341 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))):𝐴⟶ℝ)
2513adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2625biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
273adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
28 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
2927, 28absled 14098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3029notbid 308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3128, 25ltnled 10129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦))
32 renegcl 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3332rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3727biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3828renegcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
3927, 38ltnled 10129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
4036, 37, 393bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
41 rexr 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
43 elioopnf 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4527biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4628, 27ltnled 10129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4744, 45, 463bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4840, 47orbi12d 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
49 ianor 509 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
5048, 49syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
5130, 31, 503bitr4rd 301 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵))))
52 elioopnf 12206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5342, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5426, 51, 533bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5554rabbidva 3181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))})
5623mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))
5857mptpreima 5590 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 5590 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 3748 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 3879 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2648 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6355, 56, 623eqtr4g 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 23435 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
663, 57fmptd 6341 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ)
67 mbfima 23300 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 23300 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 23207 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7542, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7625biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7727, 28absltd 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7927biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
81 3anass 1040 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8280, 81syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
83 elioo2 12155 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8433, 41, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8584ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8823mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 23300 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9524, 7, 73, 94ismbf2d 23309 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
9622, 95syl5eqel 2708 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 23314 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97syl5eqel 2708 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 9972 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
101 ifan 4111 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
102 ifcl 4107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
104 max1 11958 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
10514, 3, 104sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
106 elrege0 12217 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 12221 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110syl5eqel 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4111 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
1143renegcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
115 ifcl 4107 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
117 max1 11958 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
11814, 114, 117sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
119 elrege0 12217 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121syl5eqel 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
125 eqidd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 6868 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
127101, 113oveq12i 6617 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
128 max0add 13979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
130 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
132 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
133132adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
134131, 133oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
13521adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2670 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
137136ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
138 00id 10156 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2686 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
143137, 142pm2.61d1 171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
144127, 143syl5eq 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
145144mpteq2dv 4710 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
146126, 145eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
147146, 1syl6reqr 2679 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
148147fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
149111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139syl5eq 2672 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
152 ibar 525 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
153152ifbid 4085 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
154153mpteq2ia 4705 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
1553, 6mbfpos 23319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155syl5eqelr 2709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 23314 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
158 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
159112, 158fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1605simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
161 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
162123, 161fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1635simp3d 1073 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 33082 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
165148, 164eqtrd 2660 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
166160, 163readdcld 10014 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
167165, 166eqeltrd 2704 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16898, 167jca 554 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191   ∖ cdif 3557   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ◡ccnv 5078  dom cdm 5079   “ cima 5082  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ∘𝑓 cof 6849  ℝcr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020  -cneg 10212  (,)cioo 12114  [,)cico 12116  abscabs 13903  volcvol 23134  MblFncmbf 23284  ∫2citg2 23286  𝐿1cibl 23287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291  df-ibl 23292  df-0p 23338 This theorem is referenced by:  iblabsnc  33092  iblmulc2nc  33093
 Copyright terms: Public domain W3C validator