Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblabsnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabsnclem 33091
Description: Lemma for iblabsnc 33092; cf. iblabslem 23495. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabsnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
iblabsnclem.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
iblabsnclem.3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iblabsnclem (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabsnclem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsnclem.1 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
2 iblabsnclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1)
3 iblabsnclem.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
43iblrelem 23458 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
52, 4mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ))
65simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
76, 3mbfdm2 23306 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 mblss 23201 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 rembl 23210 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
123recnd 10013 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 14104 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
14 0re 9985 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 ifcl 4107 . . . . 5 (((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) ∈ ℝ)
17 eldifn 3716 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
19 iffalse 4072 . . . . 5 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = 0)
21 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
2221mpteq2ia 4705 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
23 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵)))
2413, 23fmptd 6341 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))):𝐴⟶ℝ)
2513adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2625biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
273adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
28 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
2927, 28absled 14098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3029notbid 308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
3128, 25ltnled 10129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹𝐵)) ≤ 𝑦))
32 renegcl 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3332rexrd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
35 elioomnf 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3727biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) < -𝑦)))
3828renegcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
3927, 38ltnled 10129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) < -𝑦 ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
4036, 37, 393bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵)))
41 rexr 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
43 elioopnf 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ* → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4527biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝐵))))
4628, 27ltnled 10129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4744, 45, 463bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
4840, 47orbi12d 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
49 ianor 509 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦) ↔ (¬ -𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∨ ¬ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦))
5048, 49syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ¬ (-𝑦 ≤ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ 𝑦)))
5130, 31, 503bitr4rd 301 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵))))
52 elioopnf 12206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5342, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (abs‘(𝐹𝐵)))))
5426, 51, 533bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5554rabbidva 3181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))})
5623mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (𝑦(,)+∞)}
57 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵))
5857mptpreima 5590 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)}
5957mptpreima 5590 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}
6058, 59uneq12i 3748 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)})
61 unrab 3879 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦)} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞)}) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6260, 61eqtri 2648 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) = {𝑥𝐴 ∣ ((𝐹𝐵) ∈ (-∞(,)-𝑦) ∨ (𝐹𝐵) ∈ (𝑦(,)+∞))}
6355, 56, 623eqtr4g 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) = (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))))
64 iblmbf 23435 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
652, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
663, 57fmptd 6341 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ)
67 mbfima 23300 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
68 mbfima 23300 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
69 unmbl 23207 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol ∧ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7067, 68, 69syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7165, 66, 70syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7271adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∪ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
7363, 72eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
74 elioomnf 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ* → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7542, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7625biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦)))
7727, 28absltd 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) < 𝑦 ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7875, 76, 773bitr2d 296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
7927biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
8078, 79bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦))))
81 3anass 1040 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ (-𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8280, 81syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
83 elioo2 12155 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8433, 41, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8584ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) < 𝑦)))
8682, 85bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)))
8786rabbidva 3181 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)})
8823mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (abs‘(𝐹𝐵)) ∈ (-∞(,)𝑦)}
8957mptpreima 5590 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝐵) ∈ (-𝑦(,)𝑦)}
9087, 88, 893eqtr4g 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)))
91 mbfima 23300 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9265, 66, 91syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9392adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) “ (-𝑦(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9490, 93eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
9524, 7, 73, 94ismbf2d 23309 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘(𝐹𝐵))) ∈ MblFn)
9622, 95syl5eqel 2708 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
979, 11, 16, 20, 96mbfss 23314 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
981, 97syl5eqel 2708 . 2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
99 reex 9972 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
101 ifan 4111 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0)
102 ifcl 4107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
1033, 14, 102sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
104 max1 11958 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
10514, 3, 104sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
106 elrege0 12217 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)))
107103, 105, 106sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
108 0e0icopnf 12221 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,)+∞)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
110107, 109ifclda 4097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
111101, 110syl5eqel 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
112111adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
113 ifan 4111 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)
1143renegcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
115 ifcl 4107 . . . . . . . . . . . . 13 ((-(𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
116114, 14, 115sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ)
117 max1 11958 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝐵) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
11814, 114, 117sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
119 elrege0 12217 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
120116, 118, 119sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
121120, 109ifclda 4097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) ∈ (0[,)+∞))
122113, 121syl5eqel 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
123122adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
124 eqidd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)))
125 eqidd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))
126100, 112, 123, 124, 125offval2 6868 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
127101, 113oveq12i 6617 . . . . . . . . 9 (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0))
128 max0add 13979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐵) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
1293, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)) = (abs‘(𝐹𝐵)))
130 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0))
132 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
133132adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0))
134131, 133oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) + if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0)))
13521adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0) = (abs‘(𝐹𝐵)))
136129, 134, 1353eqtr4d 2670 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
137136ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
138 00id 10156 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
139 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
140 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0) = 0)
141139, 140oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = (0 + 0))
142138, 141, 193eqtr4a 2686 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
143137, 142pm2.61d1 171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0), 0) + if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -(𝐹𝐵), -(𝐹𝐵), 0), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
144127, 143syl5eq 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0))
145144mpteq2dv 4710 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) + if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
146126, 145eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐹𝐵)), 0)))
147146, 1syl6reqr 2679 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))))
148147fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
149111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
150101, 139syl5eq 2672 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
15118, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0) = 0)
152 ibar 525 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (0 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵))))
153152ifbid 4085 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
154153mpteq2ia 4705 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
1553, 6mbfpos 23319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (𝐹𝐵), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
156154, 155syl5eqelr 2709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
1579, 11, 149, 151, 156mbfss 23314 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∈ MblFn)
158 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))
159112, 158fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1605simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
161 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))
162123, 161fmptd 6341 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
1635simp3d 1073 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0))) ∈ ℝ)
164157, 159, 160, 162, 163itg2addnc 33082 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
165148, 164eqtrd 2660 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))))
166160, 163readdcld 10014 . . 3 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)), (𝐹𝐵), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(𝐹𝐵)), -(𝐹𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
167165, 166eqeltrd 2704 . 2 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16898, 167jca 554 1 (𝜑 → (𝐺 ∈ MblFn ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  Vcvv 3191  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑓 cof 6849  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  -cneg 10212  (,)cioo 12114  [,)cico 12116  abscabs 13903  volcvol 23134  MblFncmbf 23284  2citg2 23286  𝐿1cibl 23287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291  df-ibl 23292  df-0p 23338
This theorem is referenced by:  iblabsnc  33092  iblmulc2nc  33093
  Copyright terms: Public domain W3C validator