MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblitg 23580
Description: If a function is integrable, then the 2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
iblitg ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3 iblitg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
43adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5 iexpcyc 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
65oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
76fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
87ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
94, 8eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
109ibllem 23576 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
1110mpteq2dv 4778 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
122, 11eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
1312fveq2d 6233 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14 4nn 11225 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
15 zmodfz 12732 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
1614, 15mpan2 707 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
17 4cn 11136 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
18 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
19 3cn 11133 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2018, 19addcomi 10265 . . . . . . . 8 (1 + 3) = (3 + 1)
21 df-4 11119 . . . . . . . 8 4 = (3 + 1)
2220, 21eqtr4i 2676 . . . . . . 7 (1 + 3) = 4
2317, 18, 19, 22subaddrii 10408 . . . . . 6 (4 − 1) = 3
2423oveq2i 6701 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...3)
2516, 24syl6eleq 2740 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
27 iblitg.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
28 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
29 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
30 iblitg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
3128, 29, 30isibl2 23578 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
3227, 31mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
3332simprd 478 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
35 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
3635oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
3736fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
3837breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
3938anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
4039, 37ifbieq1d 4142 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
4140mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
4241fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
4342eleq1d 2715 . . . 4 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
4443rspcv 3336 . . 3 ((𝐾 mod 4) ∈ (0...3) → (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
4526, 34, 44sylc 65 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
4613, 45eqeltrd 2730 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  3c3 11109  4c4 11110  cz 11415  ...cfz 12364   mod cmo 12708  cexp 12900  cre 13881  MblFncmbf 23428  2citg2 23430  𝐿1cibl 23431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-ibl 23436
This theorem is referenced by:  itgcl  23595  itgcnlem  23601  iblss  23616  iblss2  23617  itgsplit  23647
  Copyright terms: Public domain W3C validator