MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblitg 23258
Description: If a function is integrable, then the 2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
iblitg.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
iblitg.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
iblitg.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
iblitg ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
3 iblitg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
43adantlr 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
5 iexpcyc 12786 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
65oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))) = (𝐵 / (i↑𝐾)))
76fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
87ad2antlr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝐾))))
94, 8eqtr4d 2646 . . . . . 6 (((𝜑𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
109ibllem 23254 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
1110mpteq2dv 4667 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
122, 11eqtrd 2643 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
1312fveq2d 6092 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
14 4nn 11034 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
15 zmodfz 12509 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
1614, 15mpan2 702 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...(4 − 1)))
17 4cn 10945 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
18 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
19 3cn 10942 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2018, 19addcomi 10078 . . . . . . . 8 (1 + 3) = (3 + 1)
21 df-4 10928 . . . . . . . 8 4 = (3 + 1)
2220, 21eqtr4i 2634 . . . . . . 7 (1 + 3) = 4
2317, 18, 19, 22subaddrii 10221 . . . . . 6 (4 − 1) = 3
2423oveq2i 6538 . . . . 5 (0...(4 − 1)) = (0...3)
2516, 24syl6eleq 2697 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
2625adantl 480 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 mod 4) ∈ (0...3))
27 iblitg.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
28 eqidd 2610 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
29 eqidd 2610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
30 iblitg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
3128, 29, 30isibl2 23256 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
3227, 31mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
3332simprd 477 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
3433adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
35 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (i↑𝑘) = (i↑(𝐾 mod 4)))
3635oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))
3736fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))
3837breq2d 4589 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))))
3938anbi2d 735 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))))))
4039, 37ifbieq1d 4058 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))
4140mpteq2dv 4667 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0)))
4241fveq2d 6092 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))))
4342eleq1d 2671 . . . 4 (𝑘 = (𝐾 mod 4) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
4443rspcv 3277 . . 3 ((𝐾 mod 4) ∈ (0...3) → (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ))
4526, 34, 44sylc 62 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4))))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑(𝐾 mod 4)))), 0))) ∈ ℝ)
4613, 45eqeltrd 2687 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℤ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   + caddc 9795  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  3c3 10918  4c4 10919  cz 11210  ...cfz 12152   mod cmo 12485  cexp 12677  cre 13631  MblFncmbf 23106  2citg2 23108  𝐿1cibl 23109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-ibl 23114
This theorem is referenced by:  itgcl  23273  itgcnlem  23279  iblss  23294  iblss2  23295  itgsplit  23325
  Copyright terms: Public domain W3C validator