MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblmulc2 23642
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 itgmulc2.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
3 itgmulc2.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 23579 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
61, 2, 5mbfmulc2 23475 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
7 ifan 4167 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0)
81adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
95, 2mbfmptcl 23449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
1110adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
12 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 ax-icn 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
15 ine0 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
16 expclz 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1714, 15, 16mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
19 expne0i 12932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2014, 15, 19mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0)
2211, 18, 21divcld 10839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
2322recld 13978 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
24 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
25 ifcl 4163 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2623, 24, 25sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
2726rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
28 max1 12054 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
2924, 23, 28sylancr 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
30 elxrge0 12319 . . . . . . . . 9 (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
3127, 29, 30sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
32 0e0iccpnf 12321 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]+∞)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3431, 33ifclda 4153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
3534adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈ (0[,]+∞))
367, 35syl5eqel 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
37 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
3836, 37fmptd 6425 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
39 reex 10065 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ V)
411abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
439abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
449absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
45 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
4643, 44, 45sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
47 0e0icopnf 12320 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,)+∞)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
4946, 48ifclda 4153 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
5049adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
51 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ × {(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘𝐶)))
53 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
5440, 42, 50, 52, 53offval2 6956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))))
55 ovif2 6780 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0))
568, 9absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)))
5756ifeq1da 4149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)))
5841recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5958mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) = 0)
6059ifeq2d 4138 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
6157, 60eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
6255, 61syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
6362mpteq2dv 4778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
6454, 63eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
6564fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
66 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6750, 66fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
682, 3iblabs 23640 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
6943, 44iblpos 23604 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
7068, 69mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
7170simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
72 abscl 14062 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
73 absge0 14071 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐶))
74 elrege0 12316 . . . . . . . . . 10 ((abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶)))
7572, 73, 74sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
761, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ (0[,)+∞))
7767, 71, 76itg2mulc 23559 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))))
7865, 77eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))))
7941, 71remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) ∈ ℝ)
8078, 79eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
8180adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
8210abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8382rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ*)
8410absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
85 elxrge0 12319 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
8683, 84, 85sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
8732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
8886, 87ifclda 4153 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
8988adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
90 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
9189, 90fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
9291adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
9322releabsd 14234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
9411, 18, 21absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))))
95 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9695ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 absexp 14088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
9814, 96, 97sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘))
99 absi 14070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘i) = 1
10099oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘)
101 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (1↑𝑘) = 1)
10213, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (1↑𝑘) = 1)
103100, 102syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1)
10498, 103eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1)
105104oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1))
10682recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
107106adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
108107div1d 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
10994, 105, 1083eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
11093, 109breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
11184adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
112 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
113 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))))
114112, 113ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 (((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
115110, 111, 114syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
116 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
117116adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))
118 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵)))
120115, 117, 1193brtr4d 4717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
121120ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
122 0le0 11148 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
124 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0)
125 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = 0)
126123, 124, 1253brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
127121, 126pm2.61d1 171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
1287, 127syl5eqbr 4720 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
129128ralrimivw 2996 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))
13039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈ V)
13189adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈ (0[,]+∞))
132 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
133 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
134130, 36, 131, 132, 133ofrfval2 6957 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
135129, 134mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))
136 itg2le 23551 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
13738, 92, 135, 136syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))))
138 itg2lecl 23550 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
13938, 81, 137, 138syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
140139ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
141 eqidd 2652 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)))
142 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))))
143141, 142, 10isibl2 23578 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
1446, 140, 143mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  cle 10113   / cdiv 10722  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cexp 12900  cre 13881  abscabs 14018  MblFncmbf 23428  2citg2 23430  𝐿1cibl 23431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  23643  itgmulc2lem2  23644  itgmulc2  23645  itgabs  23646  circlemeth  30846  fourierdlem83  40724  fourierdlem95  40736  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764
  Copyright terms: Public domain W3C validator