MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblposlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblposlem 23277
Description: Lemma for iblpos 23278. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iblposlem (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem
StepHypRef Expression
1 iblpos.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2 iblrelem.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32le0neg2d 10445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
41, 3mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
54adantrr 748 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6 simprr 791 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
72adantrr 748 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
87renegcld 10304 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9 0re 9892 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
10 letri3 9970 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
118, 9, 10sylancl 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
125, 6, 11mpbir2and 958 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
1312ifeq1da 4061 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14 ifid 4070 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
1513, 14syl6eq 2655 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
1615mpteq2dv 4663 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17 fconstmpt 5071 . . . 4 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1816, 17syl6eqr 2657 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
1918fveq2d 6088 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20 itg20 23223 . 2 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2119, 20syl6eq 2655 1 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  ifcif 4031  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633   × cxp 5022  cfv 5786  cr 9787  0cc0 9788  cle 9927  -cneg 10114  2citg2 23104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-ofr 6769  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xadd 11775  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-xmet 19502  df-met 19503  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-mbf 23107  df-itg1 23108  df-itg2 23109  df-0p 23156
This theorem is referenced by:  iblpos  23278  itgposval  23281
  Copyright terms: Public domain W3C validator