Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsplit 40677
 Description: The union of two integrable functions is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplit.1 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
iblsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
iblsplit.3 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplit.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplit.5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblsplit (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplit
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblsplit.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2 eqid 2752 . . . 4 (𝑥𝑈𝐶) = (𝑥𝑈𝐶)
31, 2fmptd 6540 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶):𝑈⟶ℂ)
4 ssun1 3911 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
5 iblsplit.2 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
64, 5syl5sseqr 3787 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
76resmptd 5602 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑈𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
8 iblsplit.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
9 eqidd 2753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0)))
10 eqidd 2753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))))
116sseld 3735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥𝑈))
1211imdistani 728 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝜑𝑥𝑈))
1312, 1syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
149, 10, 13isibl2 23724 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑦 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ)))
158, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑦 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ))
1615simpld 477 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
177, 16eqeltrd 2831 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑈𝐶) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
18 ssun2 3912 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1918, 5syl5sseqr 3787 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
2019resmptd 5602 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑈𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝐶))
21 iblsplit.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
22 eqidd 2753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0)))
23 eqidd 2753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))))
2419sseld 3735 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
2524imdistani 728 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜑𝑥𝑈))
2625, 1syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2722, 23, 26isibl2 23724 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑦 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ)))
2821, 27mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑦 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑦))), 0))) ∈ ℝ))
2928simpld 477 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
3020, 29eqeltrd 2831 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑈𝐶) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
315eqcomd 2758 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝑈)
323, 17, 30, 31mbfres2cn 40669 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ MblFn)
3316, 13mbfdm2 23596 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3433adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
3529, 26mbfdm2 23596 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3635adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ dom vol)
37 iblsplit.1 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
3837adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
395adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
401adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
41 ax-icn 10179 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → i ∈ ℂ)
43 elfznn0 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4442, 43expcld 13194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
4544ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → i ∈ ℂ)
47 ine0 10649 . . . . . . . . . . . . 13 i ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → i ≠ 0)
49 elfzelz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑘 ∈ ℤ)
5146, 48, 50expne0d 13200 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ≠ 0)
5240, 45, 51divcld 10985 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐶 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
5352recld 14125 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
5453rexrd 10273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ*)
5554adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ*)
56 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
57 pnfge 12149 . . . . . . . 8 ((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ* → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ≤ +∞)
5855, 57syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ≤ +∞)
59 0xr 10270 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
60 pnfxr 10276 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
61 elicc1 12404 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∧ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ≤ +∞)))
6259, 60, 61mp2an 710 . . . . . . 7 ((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∧ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ≤ +∞))
6355, 56, 58, 62syl3anbrc 1426 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ (0[,]+∞))
64 0e0iccpnf 12468 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
6564a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) ∧ ¬ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
6663, 65ifclda 4256 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
67 eqid 2752 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
68 eqid 2752 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
69 ifan 4270 . . . . . 6 if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
7069mpteq2i 4885 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
71 ifan 4270 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
7271eqcomi 2761 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
7372mpteq2i 4885 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
7473a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
7574fveq2d 6348 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
76 eqidd 2753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
77 eqidd 2753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
7876, 77, 13isibl2 23724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
798, 78mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
8079simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
8180r19.21bi 3062 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
8275, 81eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) ∈ ℝ)
83 ifan 4270 . . . . . . . . 9 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
8483eqcomi 2761 . . . . . . . 8 if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
8584mpteq2i 4885 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
8685fveq2i 6347 . . . . . 6 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
87 eqidd 2753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
88 eqidd 2753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
8987, 88, 26isibl2 23724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
9021, 89mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
9190simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
9291r19.21bi 3062 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
9386, 92syl5eqel 2835 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) ∈ ℝ)
9434, 36, 38, 39, 66, 67, 68, 70, 82, 93itg2split 23707 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)))))
9582, 93readdcld 10253 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)))) ∈ ℝ)
9694, 95eqeltrd 2831 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
9796ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
98 eqidd 2753 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
99 eqidd 2753 . . 3 ((𝜑𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
10098, 99, 1isibl2 23724 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝑈𝐶) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
10132, 97, 100mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042   ∪ cun 3705   ∩ cin 3706  ifcif 4222   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  dom cdm 5258   ↾ cres 5260  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  ici 10122   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  ℝ*cxr 10257   ≤ cle 10259   / cdiv 10868  3c3 11255  ℤcz 11561  [,]cicc 12363  ...cfz 12511  ↑cexp 13046  ℜcre 14028  vol*covol 23423  volcvol 23424  MblFncmbf 23574  ∫2citg2 23576  𝐿1cibl 23577 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-rest 16277  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-cmp 21384  df-ovol 23425  df-vol 23426  df-mbf 23579  df-itg1 23580  df-itg2 23581  df-ibl 23582 This theorem is referenced by:  iblsplitf  40681
 Copyright terms: Public domain W3C validator