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Theorem iblspltprt 40692
Description: If a function is integrable on any interval of a partition, then it is integrable on the whole interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblspltprt.1 𝑡𝜑
iblspltprt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iblspltprt.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
iblspltprt.4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
iblspltprt.5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
iblspltprt.6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
iblspltprt.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblspltprt (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑖,𝑀,𝑡   𝑖,𝑁,𝑡   𝑃,𝑖,𝑡   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem iblspltprt
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblspltprt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2 eluzelz 11889 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 eluzle 11892 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
63zred 11674 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
76leidd 10786 . . 3 (𝜑𝑁𝑁)
8 iblspltprt.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98peano2zd 11677 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10 elfz1 12524 . . . 4 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑁𝑁)))
119, 3, 10syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑁𝑁)))
123, 5, 7, 11mpbir3and 1428 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
13 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
1413oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
1514mpteq1d 4890 . . . . 5 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
1615eleq1d 2824 . . . 4 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
18 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑘))
1918oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)))
2019mpteq1d 4890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴))
2120eleq1d 2824 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
2221imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
23 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑗) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2423oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
2524mpteq1d 4890 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
2625eleq1d 2824 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
2726imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
28 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑁))
2928oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)))
3029mpteq1d 4890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴))
3130eleq1d 2824 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
3231imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
33 uzid 11894 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
348, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
358zred 11674 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
36 1red 10247 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3735, 36readdcld 10261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3835ltp1d 11146 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
3935, 37, 6, 38, 5ltletrd 10389 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
40 elfzo2 12667 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
4134, 3, 39, 40syl3anbrc 1429 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
42 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
43 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 + 1) = (𝑀 + 1))
4443fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑀 + 1)))
4542, 44oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))))
4645mpteq1d 4890 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴))
4746eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
4847imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
49 iblspltprt.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
5049expcom 450 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
5148, 50vtoclga 3412 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
5241, 51mpcom 38 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
5352a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
54 nfv 1992 . . . . . 6 𝑡 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
55 iblspltprt.1 . . . . . . 7 𝑡𝜑
56 nfmpt1 4899 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴)
5756nfel1 2917 . . . . . . 7 𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1
5855, 57nfim 1974 . . . . . 6 𝑡(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
5954, 58, 55nf3an 1980 . . . . 5 𝑡(𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑)
60 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝜑)
61 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
6235leidd 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑀)
6335, 6, 39ltled 10377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑁)
64 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀𝑀𝑁)))
658, 3, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑀𝑀𝑁)))
668, 62, 63, 65mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6766ancli 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
68 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
6968anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))))
7042eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑀) ∈ ℝ))
7169, 70imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑀 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)))
72 iblspltprt.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
7371, 72vtoclg 3406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ))
7466, 67, 73sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ)
7675rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
77 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝜑)
78 elfzoelz 12664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8035adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8179zred 11674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
8237adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
8338adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
84 elfzole1 12672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
8680, 82, 81, 83, 85ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
8780, 81, 86ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
886adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89 elfzolt2 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 < 𝑁)
9181, 88, 90ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘𝑁)
928, 3jca 555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
94 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9679, 87, 91, 95mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
97 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9897anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))))
99 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑘))
10099eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
10198, 100imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
102101, 72chvarv 2408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
10377, 96, 102syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
104103rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ*)
10579peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
106105zred 11674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
107 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
10880, 81, 107, 86ltadd1dd 10830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) < (𝑘 + 1))
10980, 82, 106, 83, 108lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑘 + 1))
11080, 106, 109ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
111 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
11278, 3, 111syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
11390, 112mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
114 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
11593, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
116105, 110, 113, 115mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
11777, 116jca 555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
118 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
119118anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
120 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
121120eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
122119, 121imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
123122, 72vtoclg 3406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
124116, 117, 123sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
125124rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
126 eluz 11893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑘))
1278, 78, 126syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑘))
12887, 127mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
129 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝜑)
130 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ)
131130adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ)
132 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑀𝑖)
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑀𝑖)
134131zred 11674 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℝ)
135129, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
13681adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
137 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑘)
138137adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑘)
13990adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 < 𝑁)
140134, 136, 135, 138, 139lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 < 𝑁)
141134, 135, 140ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑁)
142 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
143129, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
144131, 133, 141, 143mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
145129, 144, 72syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
146 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
147 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
148147adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
149 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀𝑖)
150149adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀𝑖)
151148zred 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
152146, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
15381adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
154 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
155153, 154resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
156 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
157156adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1))
15878zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
159 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
160158, 159resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
161 elfzoel2 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
162161zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
163158ltm1d 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
164160, 158, 162, 163, 89lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
165164ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) < 𝑁)
166151, 155, 152, 157, 165lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
167151, 152, 166ltled 10377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖𝑁)
168146, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
169148, 150, 167, 168mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
170146, 169, 72syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
171148peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
172 elfzel1 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
173172zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
174147zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
175 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
176174, 175readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
177174ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
178173, 174, 176, 149, 177lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
179173, 176, 178ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
180179adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
181146, 1, 23syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
182 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
183148, 181, 182syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
184166, 183mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
185 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
186146, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
187171, 180, 184, 186mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
188146, 187jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
189 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
190189anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
191 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
192191eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
193190, 192imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)))
194193, 102vtoclg 3406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))
195187, 188, 194sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
196 elfzuz 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
197196adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
198 elfzo2 12667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁))
199197, 181, 166, 198syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
200 iblspltprt.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
201146, 199, 200syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
202170, 195, 201ltled 10377 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
203128, 145, 202monoord 13025 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑘))
204161adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
205 elfzo2 12667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 < 𝑁))
206128, 204, 90, 205syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
207 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
208207anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))))
209 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
210209fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
21199, 210breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
212208, 211imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
213212, 200chvarv 2408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
21477, 206, 213syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
215103, 124, 214ltled 10377 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
216 iccintsng 40252 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑘) ∧ (𝑃𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃𝑘)})
21776, 104, 125, 203, 215, 216syl32anc 1485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃𝑘)})
218217fveq2d 6356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = (vol*‘{(𝑃𝑘)}))
219 ovolsn 23463 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘) ∈ ℝ → (vol*‘{(𝑃𝑘)}) = 0)
220103, 219syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘{(𝑃𝑘)}) = 0)
221218, 220eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
22260, 61, 221syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (vol*‘(((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∩ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0)
22375, 124, 103, 203, 215eliccd 40229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
22475, 124, 2233jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
22560, 61, 224syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
226 iccsplit 12498 . . . . . 6 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∪ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
227225, 226syl 17 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ∪ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))))
228 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
229 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
230 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
231 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
232 eliccxr 40240 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ*)
2332323ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ*)
23474rexrd 10281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2352343ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2361253adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
237 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
238 iccgelb 12423 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ≤ 𝑡)
239235, 236, 237, 238syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑀) ≤ 𝑡)
24075, 124jca 555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
2412403adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
242 iccssre 12448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
243242sseld 3743 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ))
244241, 237, 243sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
2451243adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
246 elfz1 12524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
2478, 3, 246syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
2483, 63, 7, 247mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
249248ancli 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
250 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
251250anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))))
252 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑁 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑁))
253252eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑃𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑁) ∈ ℝ))
254251, 253imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)))
255254, 72vtoclg 3406 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ))
2563, 249, 255sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
2572563ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
258 elicc1 12412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
259235, 236, 258syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
260237, 259mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
261260simp3d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
262 elfzop1le2 40001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
26378peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
264 eluz 11893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
265263, 161, 264syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))
266262, 265mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
267266adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
268 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝜑)
269 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
270269adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
271268, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
272270zred 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
27381adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27486adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑘)
275158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
276 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
277275, 276readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
278269zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
279278adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
280275ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
281 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
282281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
283275, 277, 279, 280, 282ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
284283adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖)
285271, 273, 272, 274, 284lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑖)
286271, 272, 285ltled 10377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑖)
287 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖𝑁)
288287adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖𝑁)
289268, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
290270, 286, 288, 289mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
291268, 290, 72syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
292 simpll 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
293 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
294293adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
295292, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
296294zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
29781adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
29886adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
299158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
300 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
301299, 300readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
302293zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
303302adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
304299ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
305 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
306305adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖)
307299, 301, 303, 304, 306ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
308307adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖)
309295, 297, 296, 298, 308lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑖)
310295, 296, 309ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀𝑖)
311302adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
3126adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
313 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
314312, 313resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
315 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
316315adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1))
317312ltm1d 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
318311, 314, 312, 316, 317lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
319311, 312, 318ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖𝑁)
320319adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖𝑁)
321292, 92, 1423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑖𝑖𝑁)))
322294, 310, 320, 321mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
323292, 322, 72syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
324294peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
325324zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
326303, 300readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
327299, 303, 307ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘𝑖)
328299, 303, 300, 327leadd1dd 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
329299, 301, 326, 304, 328ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
330329adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
331295, 297, 325, 298, 330lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < (𝑖 + 1))
332295, 325, 331ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1))
333293, 3, 182syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))
334318, 333mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
335334adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
336292, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)))
337324, 332, 335, 336mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
338292, 337jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
339337, 338, 194sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
340292, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
341 eluz 11893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
342340, 294, 341syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑖))
343310, 342mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
344292, 1, 23syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
345318adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁)
346343, 344, 345, 198syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁))
347292, 346, 200syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))
348323, 339, 347ltled 10377 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
349267, 291, 348monoord 13025 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃𝑁))
3503493adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃𝑁))
351244, 245, 257, 261, 350letrd 10386 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃𝑁))
352257rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ*)
353 elicc1 12412 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃𝑁))))
354235, 352, 353syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝑃𝑁))))
355233, 239, 351, 354mpbir3and 1428 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)))
356 iblspltprt.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
357231, 355, 356syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
358228, 229, 230, 357syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
359 simp2 1132 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
36060, 359mpd 15 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
36160, 61jca 555 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
36277, 206jca 555 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))
36399, 210oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))
364363mpteq1d 4890 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴))
365364eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
366208, 365imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
367366, 49chvarv 2408 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
368361, 362, 3673syl 18 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
36959, 222, 227, 358, 360, 368iblsplitf 40689 . . . 4 ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
3703693exp 1113 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)))
37117, 22, 27, 32, 53, 370fzind2 12780 . 2 (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1))
37212, 371mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃𝑀)[,](𝑃𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  cun 3713  cin 3714  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cz 11569  cuz 11879  [,]cicc 12371  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  vol*covol 23431  𝐿1cibl 23585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590
This theorem is referenced by:  itgspltprt  40698  fourierdlem69  40895
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