Theorem icc0 12789

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icc0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem icc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccval 12780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
3		df-ne 3019	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅)
4		rabn0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
5	3, 4	bitr3i 279	. . . . 5 ⊢ (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
6		xrletr 12554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
7	6	3com23 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
8	7	3expa 1114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
9	8	rexlimdva 3286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
10		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
12		xrleid 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
13	12	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
14		breq2 5072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
15		breq1 5071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 ≤ 𝐵))
16	14, 15	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
17	16	rspcev 3625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
18	10, 11, 13, 17	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
19	18	3expia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
20	9, 19	impbid 214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
21	5, 20	syl5bb 285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22		xrlenlt 10708	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
23	21, 22	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
24	23	con4bid 319	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
25	2, 24	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  {crab 3144  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  [,]cicc 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-icc 12748

This theorem is referenced by:  iccntr  23431  icccmp  23435  cniccbdd  24064  iccvolcl  24170  itgioo  24418  c1lip1  24596  pserulm  25012  iccdifprioo  41799  cncfiooicc  42184  ibliooicc  42263  voliccico  42291  vonicc  42974