Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccbnd 33952
Description: A closed interval in is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2 cnmet 22776 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4 iccssre 12448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53, 4syl5eqss 3790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 10185 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3756 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8 metres2 22369 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
92, 7, 8sylancr 698 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
101, 9syl5eqel 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11 resubcl 10537 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 6826 . . . . . . 7 (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14 ovres 6965 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1514adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1613, 15syl5eq 2806 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
177sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
187sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
1917, 18anim12dan 918 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20 eqid 2760 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2120cnmetdval 22775 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2316, 22eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
24 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐽)
2524, 3syl6eleq 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 elicc2 12431 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2726adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2825, 27mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
2928simp1d 1137 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 10537 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐽)
3534, 3syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36 elicc2 12431 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3736adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3835, 37mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938simp1d 1137 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4128simp3d 1139 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐵)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 10835 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 10822 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝐴)
4438simp2d 1138 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑥)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 10386 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥)
4629, 30readdcld 10261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 + (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1139 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐵)
4828simp2d 1138 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 10836 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 10818 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴))))
5149, 50mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 10386 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 14372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 995 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴))
5523, 54eqbrtrd 4826 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5655ralrimivva 3109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
57 breq2 4808 . . . . 5 (𝑟 = (𝐵𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
58572ralbidv 3127 . . . 4 (𝑟 = (𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
5958rspcev 3449 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6012, 56, 59syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61 isbnd3b 33897 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
6210, 60, 61sylanbrc 701 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cres 5268  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  [,]cicc 12371  abscabs 14173  Metcme 19934  Bndcbnd 33879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-ec 7913  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-bnd 33891
This theorem is referenced by:  icccmpALT  33953
  Copyright terms: Public domain W3C validator