MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem1 22797
Description: Lemma for icccmp 22800. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10252 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10252 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
6 lbicc2 12452 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1463 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
98, 7sseldd 3733 . . . . 5 (𝜑𝐴 𝑈)
10 eluni2 4580 . . . . 5 (𝐴 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 𝐴𝑢)
119, 10sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 𝐴𝑢)
12 snssi 4472 . . . . . . . 8 (𝑢𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
1312ad2antrl 766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14 snex 5045 . . . . . . . 8 {𝑢} ∈ V
1514elpw 4296 . . . . . . 7 ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
1613, 15sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17 snfi 8191 . . . . . . 7 {𝑢} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
1916, 18elind 3929 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
202adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 12384 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4472 . . . . . . 7 (𝐴𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
2423ad2antll 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
2522, 24eqsstrd 3768 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26 unieq 4584 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑢} → 𝑧 = {𝑢})
27 vex 3331 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2827unisn 4591 . . . . . . . 8 {𝑢} = 𝑢
2926, 28syl6eq 2798 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑢} → 𝑧 = 𝑢)
3029sseq2d 3762 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
3130rspcev 3437 . . . . 5 (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
3219, 25, 31syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
3311, 32rexlimddv 3161 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
34 oveq2 6809 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
3534sseq1d 3761 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
3635rexbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
37 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
3836, 37elrab2 3495 . . 3 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
397, 33, 38sylanbrc 701 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
40 ssrab2 3816 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4137, 40eqsstri 3764 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4241sseli 3728 . . . 4 (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43 elicc2 12402 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
441, 3, 43syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
4544biimpa 502 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
4645simp3d 1136 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
4742, 46sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
4847ralrimiva 3092 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
4939, 48jca 555 1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  {crab 3042  cin 3702  wss 3703  𝒫 cpw 4290  {csn 4309   cuni 4576   class class class wbr 4792   × cxp 5252  ran crn 5255  cres 5256  ccom 5258  cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  cr 10098  *cxr 10236  cle 10238  cmin 10429  (,)cioo 12339  [,]cicc 12342  abscabs 14144  t crest 16254  topGenctg 16271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1o 7717  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-icc 12346
This theorem is referenced by:  icccmplem2  22798  icccmplem3  22799
  Copyright terms: Public domain W3C validator