MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccid 12162
Description: A closed interval with identical lower and upper bounds is a singleton. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
iccid (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})

Proof of Theorem iccid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elicc1 12161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
21anidms 676 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
3 xrlenlt 10047 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐴))
4 xrlenlt 10047 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
54ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
6 xrlttri3 11920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥)))
76biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
87ancoms 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((¬ 𝑥 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 = 𝐴))
98expcomd 454 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝑥 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
105, 9sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 < 𝐴𝑥 = 𝐴)))
1110com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 < 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
123, 11sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴)))
1312ex 450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴𝑥 → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐴))))
14133impd 1278 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) → 𝑥 = 𝐴))
15 eleq1a 2693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥 ∈ ℝ*))
16 xrleid 11927 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
17 breq2 4617 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
1816, 17syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑥))
19 breq1 4616 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝐴𝐴))
2016, 19syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴𝑥𝐴))
2115, 18, 203jcad 1241 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴)))
2214, 21impbid 202 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
23 velsn 4164 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
2422, 23syl6bbr 278 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
252, 24bitrd 268 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
2625eqrdv 2619 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  snunioo  12240  snunico  12241  snunioc  12242  prunioo  12243  icccmplem1  22533  ivthicc  23134  ioombl  23240  volivth  23281  mbfimasn  23307  itgspliticc  23509  dvivth  23677  cvmliftlem10  30984  mblfinlem2  33079  areacirc  33137  ioounsn  37276  iocinico  37278  iocmbl  37279  snunioo2  39142  snunioo1  39149  cncfiooicc  39411  vonsn  40212
  Copyright terms: Public domain W3C validator