Theorem iccmbl 24169

Description: A closed real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iccmbl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem iccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssre 12821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2		dfss4 4237	. . 3 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴[,]𝐵))
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴[,]𝐵))
4		difreicc 12873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
5		ioombl 24168	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ dom vol
6		ioombl 24168	. . . . 5 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ dom vol
7		unmbl 24140	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,)𝐴) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ dom vol) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ dom vol)
8	5, 6, 7	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ dom vol
9	4, 8	eqeltrdi 2923	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ dom vol)
10		cmmbl 24137	. . 3 ⊢ ((ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∈ dom vol)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∈ dom vol)
12	3, 11	eqeltrrd 2916	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  dom cdm 5557  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744  volcvol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-xmet 20540  df-met 20541  df-ovol 24067  df-vol 24068

This theorem is referenced by:  iccvolcl  24170  ovolioo  24171  dyadmbl  24203  volsup2  24208  volcn  24209  volivth  24210  mbfi1fseqlem4  24321  cniccibl  24443  ftc1lem4  24638  cnicciblnc  34965  ftc1cnnclem  34967  areacirc  34989  iocmbl  39826  arearect  39829  areaquad  39830  volicc  42290  fourierdlem87  42485  fourierdlem107  42505