MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccordt 21066
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6693 . 2 (𝐴[,]𝐵) = ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 letsr 17274 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
3 ledm 17271 . . . . . . 7 * = dom ≤
43ordtcld3 21051 . . . . . 6 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
52, 4mp3an1 1451 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
65rgen2a 3006 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
7 df-icc 12220 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
87fmpt2 7282 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ↔ [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
96, 8mpbi 220 . . 3 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
10 letop 21058 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
11 0cld 20890 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
139, 12f0cli 6410 . 2 ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
141, 13eqeltri 2726 1 (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  c0 3948  cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  *cxr 10111  cle 10113  [,]cicc 12216  ordTopcordt 16206   TosetRel ctsr 17246  Topctop 20746  Clsdccld 20868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871
This theorem is referenced by:  lecldbas  21071
  Copyright terms: Public domain W3C validator