Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartf 41131
 Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. Corresponds to fourierdlem15 40102 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartf (𝜑𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))

Proof of Theorem iccpartf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 iccpart 41116 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ↔ (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4 elmapfn 7865 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
54adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑃 Fn (0...𝑀))
63, 5syl6bi 243 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → 𝑃 Fn (0...𝑀)))
71, 2, 6sylc 65 . 2 (𝜑𝑃 Fn (0...𝑀))
81, 2iccpartrn 41130 . 2 (𝜑 → ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))
9 df-f 5880 . 2 (𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)) ↔ (𝑃 Fn (0...𝑀) ∧ ran 𝑃 ⊆ ((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀))))
107, 8, 9sylanbrc 697 1 (𝜑𝑃:(0...𝑀)⟶((𝑃‘0)[,](𝑃𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644  ran crn 5105   Fn wfn 5871  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↑𝑚 cmap 7842  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  ℝ*cxr 10058   < clt 10059  ℕcn 11005  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  RePartciccp 41113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-iccp 41114 This theorem is referenced by:  iccpartel  41132
 Copyright terms: Public domain W3C validator