Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgtl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgtl 41870
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgtl (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 elnnuz 11915 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
31, 2sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
4 fzisfzounsn 12772 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
65eleq2d 2823 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀})))
7 elun 3894 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9 velsn 4335 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1110orbi2d 740 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
126, 8, 113bitrd 294 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13 fveq2 6350 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
1413breq2d 4814 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1514rspccv 3444 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
16 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
171, 16iccpartigtl 41867 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
1815, 17syl11 33 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
191, 16iccpartlt 41868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2019adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
21 fveq2 6350 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
2320, 22breqtrrd 4830 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
2423ex 449 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2518, 24jaoi 393 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2625com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2712, 26sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2827ralrimiv 3101 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  cun 3711  {csn 4319   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  0cc0 10126  1c1 10127   < clt 10264  cn 11210  cuz 11877  ...cfz 12517  ..^cfzo 12657  RePartciccp 41857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-iccp 41858
This theorem is referenced by:  iccpartgel  41873
  Copyright terms: Public domain W3C validator