Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartiun 40665
 Description: A half opened interval of extended reals is the union of the parts of its partition. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartiun (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) = 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartiun
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartiun.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2 iccpartiun.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 iccelpart 40664 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))))
4 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
5 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑀) = (𝑃𝑀))
64, 5oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) = ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
76eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
8 fveq1 6147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑖) = (𝑃𝑖))
9 fveq1 6147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
108, 9oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
1110eleq2d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
1211rexbidv 3045 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
137, 12imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
1413rspcva 3293 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ ∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1))))) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
1514expcom 451 . . . . . 6 (∀𝑝 ∈ (RePart‘𝑀)(𝑥 ∈ ((𝑝‘0)[,)(𝑝𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑝𝑖)[,)(𝑝‘(𝑖 + 1)))) → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
162, 3, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))))
171, 16mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
18 nnnn0 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
19 0elfz 12377 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
212, 1, 20iccpartxr 40650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 12378 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
2322biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
242, 18, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
252, 1, 24iccpartxr 40650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2621, 25jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*))
28 elfzofz 12426 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292, 1iccpartgel 40660 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗))
30 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
3130breq2d 4625 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
3231rspcva 3293 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑗)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
3328, 29, 32syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
34 fzofzp1 12506 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
352, 1iccpartleu 40659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀))
36 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
3736breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀)))
3837rspcva 3293 . . . . . . . 8 (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑘) ≤ (𝑃𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
3934, 35, 38syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))
40 icossico 12185 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑃𝑀))) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4127, 33, 39, 40syl12anc 1321 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)))
4241sseld 3582 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
4342rexlimdva 3024 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀))))
4417, 43impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
45 eliun 4490 . . 3 (𝑥 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)𝑥 ∈ ((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
4644, 45syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) ↔ 𝑥 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1)))))
4746eqrdv 2619 1 (𝜑 → ((𝑃‘0)[,)(𝑃𝑀)) = 𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑃𝑖)[,)(𝑃‘(𝑖 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555  ∪ ciun 4485   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  ℝ*cxr 10017   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  [,)cico 12119  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  RePartciccp 40644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-iccp 40645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator