Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartlt 41130
 Description: If there is a partition, then the lower bound is strictly less than the upper bound. Corresponds to fourierdlem11 40104 in GS's mathbox. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartlt (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))

Proof of Theorem iccpartlt
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
3 lbfzo0 12503 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
41, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
5 iccpartimp 41123 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
61, 2, 4, 5syl3anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
76simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
87adantl 482 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
9 fveq2 6189 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘1))
10 1e0p1 11549 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1110fveq2i 6192 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
129, 11syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
1312adantr 481 . . . 4 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(0 + 1)))
148, 13breqtrrd 4679 . . 3 ((𝑀 = 1 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
1514ex 450 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
161, 2iccpartiltu 41128 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
171, 2iccpartigtl 41129 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
18 1nn 11028 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ)
201adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
21 df-ne 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑀 = 1)
221nnge1d 11060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
23 1red 10052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
241nnred 11032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2523, 24ltlend 10179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝑀 ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1)))
2625biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 ≤ 𝑀𝑀 ≠ 1) → 1 < 𝑀))
2722, 26mpand 711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ≠ 1 → 1 < 𝑀))
2821, 27syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → 1 < 𝑀))
2928imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 < 𝑀)
30 elfzo1 12513 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1..^𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
3119, 20, 29, 30syl3anbrc 1245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (1..^𝑀))
32 fveq2 6189 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘1))
3332breq2d 4663 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3433rspcv 3303 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3531, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (𝑃‘0) < (𝑃‘1)))
3632breq1d 4661 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3736rspcv 3303 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (1..^𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
3831, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)))
39 nnnn0 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 0elfz 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
411, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
421, 2, 41iccpartxr 41125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
442adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
45 1nn0 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ ℕ0)
471, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4922adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ≤ 𝑀)
50 elfz2nn0 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
5146, 48, 49, 50syl3anbrc 1245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 1 ∈ (0...𝑀))
5220, 44, 51iccpartxr 41125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘1) ∈ ℝ*)
53 nn0fz0 12433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
5439, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
561, 2, 55iccpartxr 41125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
58 xrlttr 11970 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘1) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑀) ∈ ℝ*) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
5943, 52, 57, 58syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (((𝑃‘0) < (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) < (𝑃𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6059expcomd 454 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘1) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6138, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6261com23 86 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6335, 62syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))))
6463ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6564com24 95 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))))
6616, 17, 65mp2d 49 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 = 1 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6766com12 32 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀)))
6815, 67pm2.61i 176 1 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∀wral 2911   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   ↑𝑚 cmap 7854  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072  ℕcn 11017  ℕ0cn0 11289  ...cfz 12323  ..^cfzo 12461  RePartciccp 41119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-iccp 41120 This theorem is referenced by:  iccpartltu  41131  iccpartgtl  41132  iccpartgt  41133
 Copyright terms: Public domain W3C validator