Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 43462
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 0zd 11981 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3 nnz 11992 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 nngt0 11656 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1120 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 43399 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 11747 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 4136 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2895 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15 elun 4122 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4574 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
201, 19iccpartlt 43461 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2218, 21eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
2322ex 413 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
25 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2625breq1d 5067 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2726rspccv 3617 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
281, 19iccpartiltu 43459 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
2927, 28syl11 33 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3024, 29jaoi 851 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3130com12 32 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3215, 31syl5bi 243 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3314, 32sylbid 241 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3433ralrimiv 3178 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cun 3931  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cn 11626  cz 11969  ..^cfzo 13021  RePartciccp 43450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-iccp 43451
This theorem is referenced by:  iccpartleu  43465
  Copyright terms: Public domain W3C validator