MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccpnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpnfhmeo 22500
Description: The defined bijection from [0, 1] to [0, +∞] is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
iccpnfhmeo.k 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
iccpnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))

Proof of Theorem iccpnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12086 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 11812 . . . 4 < Or ℝ*
3 soss 4967 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 12086 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 soss 4967 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
75, 2, 6mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
8 sopo 4966 . . . 4 ( < Or (0[,]+∞) → < Po (0[,]+∞))
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po (0[,]+∞)
10 iccpnfhmeo.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1110iccpnfcnv 22499 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 1, (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
1211simpli 473 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
13 f1ofo 6042 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
15 0re 9897 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
16 1re 9896 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
1715, 16elicc2i 12069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
1817simp1bi 1069 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
19183ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
2015, 16elicc2i 12069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 ≤ 1))
2120simp1bi 1069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
23 1red 9912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ∈ ℝ)
24 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
2520simp3bi 1071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ≤ 1)
26253ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ≤ 1)
2719, 22, 23, 24, 26ltletrd 10049 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 1)
2819, 27gtned 10024 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ≠ 𝑧)
2928necomd 2837 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ≠ 1)
30 ifnefalse 4048 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ 1 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
32 breq2 4582 . . . . . . . 8 (+∞ = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞ ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
33 breq2 4582 . . . . . . . 8 ((𝑤 / (1 − 𝑤)) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
34 resubcl 10197 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
3516, 19, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
36 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
3719recnd 9925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℂ)
38 subeq0 10159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
3938necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
4036, 37, 39sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
4128, 40mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
4219, 35, 41redivcld 10705 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
43 ltpnf 11794 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ ℝ → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
46 simpl3 1059 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 < 𝑤)
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4947, 48icopnfhmeo 22498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)1))Homeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
5049simpli 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)))
52 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
53 0xr 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
5416rexri 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
55 0le1 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
56 snunico 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1))
5753, 54, 55, 56mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1)
5852, 57syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
59 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
6058, 59sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
6160ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ {1}))
62 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
6361, 62syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 = 1))
6463necon1ad 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0[,)1)))
6529, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
67 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
6867, 57syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
69 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
7068, 69sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
7170ord 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ {1}))
72 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {1} → 𝑤 = 1)
7371, 72syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 = 1))
7473con1d 138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 = 1 → 𝑤 ∈ (0[,)1)))
7574imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑤 ∈ (0[,)1))
76 isorel 6454 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1))) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7751, 66, 75, 76syl12anc 1316 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7846, 77mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤))
79 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
80 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
8179, 80oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
82 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
8381, 47, 82fvmpt 6176 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
8466, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
85 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
86 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
8785, 86oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
88 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
8987, 47, 88fvmpt 6176 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9075, 89syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9178, 84, 903brtr3d 4609 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9232, 33, 45, 91ifbothda 4073 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
9331, 92eqbrtrd 4600 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
94933expia 1259 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
95 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑧 = 1))
9695, 81ifbieq2d 4061 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
97 pnfex 11785 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
9897, 82ifex 4106 . . . . . . 7 if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) ∈ V
9996, 10, 98fvmpt 6176 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
100 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑤 = 1))
101100, 87ifbieq2d 4061 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10297, 88ifex 4106 . . . . . . 7 if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) ∈ V
103101, 10, 102fvmpt 6176 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑤) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10499, 103breqan12d 4594 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
10594, 104sylibrd 248 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
106105rgen2a 2960 . . 3 𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
107 soisoi 6456 . . 3 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1084, 9, 14, 106, 107mp4an 705 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
109 letsr 16999 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
110109elexi 3186 . . . . 5 ≤ ∈ V
111110inex1 4722 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
112110inex1 4722 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
113 leiso 13055 . . . . . . . 8 (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
1141, 5, 113mp2an 704 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
115108, 114mpbi 219 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
116 isores1 6462 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
117115, 116mpbi 219 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
118 isores2 6461 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
119117, 118mpbi 219 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
120 tsrps 16993 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
121109, 120ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
122 ledm 16996 . . . . . . . 8 * = dom ≤
123122psssdm 16988 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
124121, 1, 123mp2an 704 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
125124eqcomi 2619 . . . . 5 (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
126122psssdm 16988 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
127121, 5, 126mp2an 704 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
128127eqcomi 2619 . . . . 5 (0[,]+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
129125, 128ordthmeo 21363 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
130111, 112, 119, 129mp3an 1416 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
131 dfii5 22444 . . . 4 II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
132 iccpnfhmeo.k . . . . 5 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
133 ordtresticc 20785 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
134132, 133eqtri 2632 . . . 4 𝐾 = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
135131, 134oveq12i 6539 . . 3 (IIHomeo𝐾) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
136130, 135eleqtrri 2687 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾)
137108, 136pm3.2i 470 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  cun 3538  cin 3539  wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4578  cmpt 4638   Po wpo 4947   Or wor 4948   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  ontowfo 5788  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790   Isom wiso 5791  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  +∞cpnf 9928  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  [,)cico 12007  [,]cicc 12008  t crest 15853  TopOpenctopn 15854  ordTopcordt 15931  PosetRelcps 16970   TosetRel ctsr 16971  fldccnfld 19516  Homeochmeo 21314  IIcii 22434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-rest 15855  df-topn 15856  df-topgen 15876  df-ordt 15933  df-ps 16972  df-tsr 16973  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cn 20789  df-hmeo 21316  df-xms 21883  df-ms 21884  df-ii 22436
This theorem is referenced by:  xrhmeo  22501  xrge0hmph  29100
  Copyright terms: Public domain W3C validator