Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccshftli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccshftli 12347
 Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftli.1 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftli.5 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftli (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli
StepHypRef Expression
1 iccshftli.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 iccshftli.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
3 iccssre 12293 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 708 . . 3 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
54sseli 3632 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 iccshftli.3 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
7 iccshftli.4 . . . . . 6 (𝐴𝑅) = 𝐶
8 iccshftli.5 . . . . . 6 (𝐵𝑅) = 𝐷
97, 8iccshftl 12346 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
101, 2, 9mpanl12 718 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
116, 10mpan2 707 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1211biimpd 219 . 2 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
135, 12mpcom 38 1 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  (class class class)co 6690  ℝcr 9973   − cmin 10304  [,]cicc 12216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-icc 12220 This theorem is referenced by:  pcoass  22870
 Copyright terms: Public domain W3C validator