MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccssico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccssico2 12798
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem iccssico2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12732 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elmpocl1 7377 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41elmpocl2 7378 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61elixx3g 12739 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
76simprbi 497 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
87simpld 495 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
98adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
101elixx3g 12739 . . . . 5 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
1110simprbi 497 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))
1211simprd 496 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
1312adantl 482 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
14 iccssico 12796 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
153, 5, 9, 13, 14syl22anc 834 1 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  23474
  Copyright terms: Public domain W3C validator