Theorem iccvonmbl 42968

Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccvonmbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbl.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iccvonmbl	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbl

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvonmbl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		iccvonmbl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
3		iccvonmbl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4		iccvonmbl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐴‘𝑗) = (𝐴‘𝑖))
6	5	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
7	6	cbvmptv 5171	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
8	7	mpteq2i 5160	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑗) − (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
9		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
10	9	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
11	10	cbvmptv 5171	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
12	11	mpteq2i 5160	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑗) + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
13	1, 2, 3, 4, 8, 12	iccvonmbllem 42967	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Xcixp 8463  Fincfn 8511  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  [,]cicc 12744  volncvoln 42827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-prod 15262  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-field 19507  df-subrg 19535  df-abv 19590  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-refld 20751  df-phl 20772  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cmp 21997  df-xms 22932  df-ms 22933  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-tng 23196  df-nrg 23197  df-nlm 23198  df-clm 23669  df-cph 23774  df-tcph 23775  df-rrx 23990  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-salg 42601  df-sumge0 42652  df-mea 42739  df-ome 42779  df-caragen 42781  df-ovoln 42826  df-voln 42828

This theorem is referenced by:  vonicc  42974  snvonmbl  42975