Theorem ico01fl0 13192

Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 13267 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ico01fl0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1xr 10702	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		icossre 12820	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . 3 ⊢ (0[,)1) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		0xr 10690	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		elico1 12784	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
8	6, 2, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1))
9	8	simp2bi 1142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
10	8	simp3bi 1143	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
11		recn 10629	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	addid2d 10843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	12	fveqeq2d 6680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
14		0z 11995	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		flbi2 13190	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
16	14, 15	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
17	13, 16	bitr3d 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
18	17	biimpar 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
19	5, 9, 10, 18	syl12anc 834	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℤcz 11984  [,)cico 12743  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-ico 12747  df-fl 13165

This theorem is referenced by:  dnizeq0  33816  dignnld  44670  digexp  44674