MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ico01fl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ico01fl0 12437
Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 12512 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ico01fl0 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0
StepHypRef Expression
1 0re 9896 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
32rexri 9948 . . . 4 1 ∈ ℝ*
4 icossre 12081 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 703 . . 3 (0[,)1) ⊆ ℝ
65sseli 3563 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 0xr 9942 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 elico1 12045 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
97, 3, 8mp2an 703 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1))
109simp2bi 1069 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
119simp3bi 1070 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
12 recn 9882 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312addid2d 10088 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
1413fveq2d 6092 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(0 + 𝐴)) = (⌊‘𝐴))
1514eqeq1d 2611 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
16 0z 11221 . . . . 5 0 ∈ ℤ
17 flbi2 12435 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1816, 17mpan 701 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1915, 18bitr3d 268 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
2019biimpar 500 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
216, 10, 11, 20syl12anc 1315 1 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cz 11210  [,)cico 12004  cfl 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-ico 12008  df-fl 12410
This theorem is referenced by:  dnizeq0  31441  dignnld  42190  digexp  42194
  Copyright terms: Public domain W3C validator