MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ico01fl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ico01fl0 12660
Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 12735 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ico01fl0 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
32rexri 10135 . . . 4 1 ∈ ℝ*
4 icossre 12292 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 708 . . 3 (0[,)1) ⊆ ℝ
65sseli 3632 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 0xr 10124 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 elico1 12256 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
97, 3, 8mp2an 708 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1))
109simp2bi 1097 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
119simp3bi 1098 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
12 recn 10064 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312addid2d 10275 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
1413fveq2d 6233 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(0 + 𝐴)) = (⌊‘𝐴))
1514eqeq1d 2653 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
16 0z 11426 . . . . 5 0 ∈ ℤ
17 flbi2 12658 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1816, 17mpan 706 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1915, 18bitr3d 270 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
2019biimpar 501 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
216, 10, 11, 20syl12anc 1364 1 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  [,)cico 12215  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ico 12219  df-fl 12633
This theorem is referenced by:  dnizeq0  32590  dignnld  42722  digexp  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator