MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icogelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelb 12170
Description: An element of a left closed right open interval is larger or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icogelb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelb
StepHypRef Expression
1 elico1 12163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1060 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶)
31, 2syl6bi 243 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶))
433impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  [,)cico 12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-xr 10025  df-ico 12126
This theorem is referenced by:  fprodge0  14652  fprodge1  14654  xralrple2  39052  icoopn  39180  icogelbd  39214  fsumge0cl  39227  limcresioolb  39297  fourierdlem41  39688  fourierdlem43  39690  fourierdlem46  39692  fourierdlem48  39694  fouriersw  39771  sge0isum  39967  sge0ad2en  39971  sge0uzfsumgt  39984  sge0seq  39986  sge0reuz  39987  hoidmv1lelem2  40129  hoidmvlelem1  40132  hoidmvlelem2  40133  ovnhoilem1  40138  hspdifhsp  40153  hspmbllem2  40164  iinhoiicclem  40210
  Copyright terms: Public domain W3C validator