Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopn 39554
Description: A left closed right open interval is an open set of the standard topology restricted to an interval that contains the original interval and has the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
icoopn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icoopn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
icoopn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
icoopn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
icoopn.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
icoopn.cleb (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
icoopn (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem icoopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoopn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22546 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2695 . . . 4 𝐾 ∈ Top
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5 ovexd 6665 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ∈ V)
6 iooretop 22550 . . . . 5 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
76, 1eleqtrri 2698 . . . 4 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾)
9 elrestr 16070 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴[,)𝐵) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐾) → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
104, 5, 8, 9syl3anc 1324 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ∈ (𝐾t (𝐴[,)𝐵)))
11 icoopn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211rexrd 10074 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14 icoopn.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
16 elinel1 3791 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
17 elioore 12190 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10074 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2019adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 icoopn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 elinel2 3792 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
25 icogelb 12210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝑥)
2613, 22, 24, 25syl3anc 1324 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝐴𝑥)
27 mnfxr 10081 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → -∞ ∈ ℝ*)
2916adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
30 iooltub 39538 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
3128, 15, 29, 30syl3anc 1324 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶)
3213, 15, 20, 26, 31elicod 12209 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
3327a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3414adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
35 icossre 12239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3611, 14, 35syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ⊆ ℝ)
3736sselda 3595 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3837mnfltd 11943 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
3912adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶))
41 icoltub 39535 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4239, 34, 40, 41syl3anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4333, 34, 37, 38, 42eliood 39523 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
4421adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4537rexrd 10074 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46 icogelb 12210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
4739, 34, 40, 46syl3anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐴𝑥)
48 icoopn.cleb . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝐶𝐵)
5045, 34, 44, 42, 49xrltletrd 11977 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐵)
5139, 44, 45, 47, 50elicod 12209 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
5243, 51elind 3790 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)))
5332, 52impbida 876 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐶)))
5453eqrdv 2618 . 2 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐶))
55 icoopn.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t (𝐴[,)𝐵))
5655eqcomi 2629 . . 3 (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽
5756a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾t (𝐴[,)𝐵)) = 𝐽)
5810, 54, 573eltr3d 2713 1 (𝜑 → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567   class class class wbr 4644  ran crn 5105  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  (,)cioo 12160  [,)cico 12162  t crest 16062  topGenctg 16079  Topctop 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-bases 20731
This theorem is referenced by:  fouriersw  40211
  Copyright terms: Public domain W3C validator