MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icoopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoopnst 22732
Description: A half-open interval starting at 𝐴 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
icoopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
icoopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem icoopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22563 . . . . 5 ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 ltm1 10860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) < 𝐴)
6 peano2rem 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
8 ltletr 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
983expb 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
107, 9mpancom 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 1) < 𝐴𝐴𝑣) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
115, 10mpand 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴𝑣 → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1211impr 649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
13123adantr3 1221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → (𝐴 − 1) < 𝑣)
1413ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
1514ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝐴 − 1) < 𝑣))
16 simp3 1062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶)
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣 < 𝐶))
183, 15, 173jcad 1242 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
19 simp2 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣)
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝐴𝑣))
21 rexr 10082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 elioc2 12233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2321, 22sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
2423biimpa 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
25 ltleletr 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
26253expa 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2726an31s 848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝑣 < 𝐶𝐶𝐵) → 𝑣𝐵))
2827imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝑣 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝑣𝐵)
2928ancom2s 844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐶𝐵𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3029an4s 869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
31303adantr2 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)) → 𝑣𝐵)
3231ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3332anasss 679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
34333adantr2 1220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3534adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
3624, 35syldan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → 𝑣𝐵))
373, 20, 363jcad 1242 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
3818, 37jcad 555 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
39 simpl1 1063 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
40 simpr2 1067 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
41 simpl3 1065 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < 𝐶)
4239, 40, 413jca 1241 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶))
4338, 42impbid1 215 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
44 simpll 790 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4524simp1d 1072 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4645rexrd 10086 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
47 elico2 12234 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
4844, 46, 47syl2anc 693 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣 < 𝐶)))
49 elin 3794 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
506rexrd 10086 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
52 elioo2 12213 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
5351, 46, 52syl2anc 693 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶)))
54 elicc2 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5653, 55anbi12d 747 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ((𝑣 ∈ ((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5749, 56syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) < 𝑣𝑣 < 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
5843, 48, 573bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,)𝐶) ↔ 𝑣 ∈ (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
5958eqrdv 2619 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
60 ineq1 3805 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6160eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝐴 − 1)(,)𝐶) → ((𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6261rspcev 3307 . . . . 5 ((((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴[,)𝐶) = (((𝐴 − 1)(,)𝐶) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
631, 59, 62sylancr 695 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64 retop 22559 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
65 ovex 6675 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
66 elrest 16082 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6764, 65, 66mp2an 708 . . . 4 ((𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐴[,)𝐶) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6863, 67sylibr 224 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
69 iccssre 12252 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7069adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
71 eqid 2621 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
72 icoopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7371, 72resubmet 22599 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7470, 73syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7568, 74eleqtrrd 2703 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽)
7675ex 450 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝐴[,)𝐶) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  Vcvv 3198  cin 3571  wss 3572   class class class wbr 4651   × cxp 5110  ran crn 5113  cres 5114  ccom 5116  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  1c1 9934  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  cmin 10263  (,)cioo 12172  (,]cioc 12173  [,)cico 12174  [,]cicc 12175  abscabs 13968  t crest 16075  topGenctg 16092  MetOpencmopn 19730  Topctop 20692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-rest 16077  df-topgen 16098  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-top 20693  df-topon 20710  df-bases 20744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator