Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreelrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreelrn 33518
Description: A class abstraction which is an element of the set of closed-below, open-above intervals of reals. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreelrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreelrn ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑧)

Proof of Theorem icoreelrn
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoreval 33510 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)})
2 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 df-ico 12372 . . . . . 6 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
54ixxf 12376 . . . . 5 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
6 ffun 6207 . . . . 5 ([,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,))
75, 6mp1i 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → Fun [,))
8 rexpssxrxp 10274 . . . . . 6 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
95fdmi 6211 . . . . . 6 dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
108, 9sseqtr4i 3777 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ dom [,))
122, 3, 7, 11elovimad 6854 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ ([,) “ (ℝ × ℝ)))
13 icoreelrn.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
1412, 13syl6eleqr 2848 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ 𝐼)
151, 14eqeltrrd 2838 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝐴𝑧𝑧 < 𝐵)} ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  {crab 3052  wss 3713  𝒫 cpw 4300   class class class wbr 4802   × cxp 5262  dom cdm 5264  cima 5267  Fun wfun 6041  wf 6043  (class class class)co 6811  cr 10125  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  [,)cico 12368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-ico 12372
This theorem is referenced by:  relowlssretop  33520
  Copyright terms: Public domain W3C validator