Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreunrn 33536
Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreunrn ℝ = 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 10297 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 peano2re 10421 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3 rexr 10297 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5 ltp1 11073 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6 lbico1 12441 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8 df-ov 6817 . . . . . 6 (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
97, 8syl6eleq 2849 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10 opelxpi 5305 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
112, 10mpdan 705 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12 fvres 6369 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
149, 13eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15 icoreresf 33529 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
1615fdmi 6213 . . . . . . 7 dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
1710, 16syl6eleqr 2850 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
182, 17mpdan 705 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19 ffun 6209 . . . . . . . 8 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21 fvelrn 6516 . . . . . . 7 ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2220, 21mpan 708 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24 df-ima 5279 . . . . . . 7 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2523, 24eqtri 2782 . . . . . 6 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 25syl6eleqr 2850 . . . . 5 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
2718, 26syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28 elunii 4593 . . . 4 ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 𝐼)
2914, 27, 28syl2anc 696 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 𝐼)
3029ssriv 3748 . 2 ℝ ⊆ 𝐼
31 frn 6214 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . 4 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
3325, 32eqsstri 3776 . . 3 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34 uniss 4610 . . . 4 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 𝒫 ℝ)
35 unipw 5067 . . . 4 𝒫 ℝ = ℝ
3634, 35syl6sseq 3792 . . 3 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 ⊆ ℝ)
3733, 36ax-mp 5 . 2 𝐼 ⊆ ℝ
3830, 37eqssi 3760 1 ℝ = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  𝒫 cpw 4302  cop 4327   cuni 4588   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151  *cxr 10285   < clt 10286  [,)cico 12390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-ico 12394
This theorem is referenced by:  istoprelowl  33537  relowlssretop  33540  relowlpssretop  33541
  Copyright terms: Public domain W3C validator