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Theorem icoshftf1o 12234
Description: Shifting a closed-below, open-above interval is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
icoshftf1o.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
icoshftf1o ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icoshftf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icoshft 12233 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
21ralrimiv 2964 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
3 readdcl 9964 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
433adant2 1078 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
5 readdcl 9964 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
653adant1 1077 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
7 renegcl 10289 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
873ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐶 ∈ ℝ)
9 icoshft 12233 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
104, 6, 8, 9syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))))
1110imp 445 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) ∈ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)))
126rexrd 10034 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
13 icossre 12193 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
144, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ)
1514sselda 3588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1615recnd 10013 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
1817recnd 10013 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
1916, 18negsubd 10343 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦 + -𝐶) = (𝑦𝐶))
204recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
21 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2320, 22negsubd 10343 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
24 simp1 1059 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2625, 22pncand 10338 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
2723, 26eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐴)
286recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
2928, 22negsubd 10343 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
30 simp2 1060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3130recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231, 22pncand 10338 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
3329, 32eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = 𝐵)
3427, 33oveq12d 6623 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
3534adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶)[,)((𝐵 + 𝐶) + -𝐶)) = (𝐴[,)𝐵))
3611, 19, 353eltr3d 2718 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵))
37 reueq 3391 . . . . 5 ((𝑦𝐶) ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦𝐶))
3836, 37sylib 208 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦𝐶))
3915adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
4039recnd 10013 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 simpll3 1100 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4241recnd 10013 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43 simpl1 1062 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 simpl2 1063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4544rexrd 10034 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46 icossre 12193 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
4743, 45, 46syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
4847sselda 3588 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 10013 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5040, 42, 49subadd2d 10356 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑦𝐶) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦))
51 eqcom 2633 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐶) ↔ (𝑦𝐶) = 𝑥)
52 eqcom 2633 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 𝐶) ↔ (𝑥 + 𝐶) = 𝑦)
5350, 51, 523bitr4g 303 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 = (𝑦𝐶) ↔ 𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
5453reubidva 3119 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑥 = (𝑦𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
5538, 54mpbid 222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))) → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
5655ralrimiva 2965 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶))
57 icoshftf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↦ (𝑥 + 𝐶))
5857f1ompt 6339 . 2 (𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)(𝑥 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))∃!𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)𝑦 = (𝑥 + 𝐶)))
592, 56, 58sylanbrc 697 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,)𝐵)–1-1-onto→((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  ∃!wreu 2914  wss 3560  cmpt 4678  1-1-ontowf1o 5849  (class class class)co 6605  cr 9880   + caddc 9884  *cxr 10018  cmin 10211  -cneg 10212  [,)cico 12116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-ico 12120
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