Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoub 39561
Description: A left-closed, right-open interval does not contain its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoub (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem icoub
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 icossxr 12255 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
3 id 22 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
42, 3sseldi 3599 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
7 icoltub 39541 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 < 𝐵)
81, 5, 6, 7syl3anc 1325 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 < 𝐵)
9 xrltnr 11950 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
104, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
1110adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
128, 11pm2.65da 600 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wcel 1989   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  *cxr 10070   < clt 10071  [,)cico 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-ico 12178
This theorem is referenced by:  fge0npnf  40353
  Copyright terms: Public domain W3C validator