MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idadm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idadm 16480
Description: Domain of the identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idafval.i 𝐼 = (Ida𝐶)
idafval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idahom.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idadm (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem idadm
StepHypRef Expression
1 idafval.i . . 3 𝐼 = (Ida𝐶)
2 idafval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idafval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 idahom.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 eqid 2609 . . 3 (Homa𝐶) = (Homa𝐶)
61, 2, 3, 4, 5idahom 16479 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋))
75homadm 16459 . 2 ((𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Homa𝐶)𝑋) → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
86, 7syl 17 1 (𝜑 → (doma‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  Catccat 16094  domacdoma 16439  Homachoma 16442  Idacida 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-cat 16098  df-cid 16099  df-doma 16443  df-homa 16445  df-ida 16474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator