Theorem ideq 5718

Description: For sets, the identity relation is the same as equality. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ideq.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ideq	⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ideq.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		ideqg 5717	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 I 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   class class class wbr 5059   I cid 5454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557

This theorem is referenced by:  dmi  5786  resieq  5859  iss  5898  elidinxp  5906  restidsing  5917  imai  5937  intasym  5970  asymref  5971  intirr  5973  poirr2  5979  cnvi  5995  xpdifid  6020  coi1  6110  dffv2  6751  isof1oidb  7071  idssen  8548  dflt2  12535  relexpindlem  14416  opsrtoslem2  20259  hausdiag  22247  hauseqlcld  22248  metustid  23158  ltgov  26377  ex-id  28207  dfso2  32985  dfpo2  32986  idsset  33346  dfon3  33348  elfix  33359  dffix2  33361  sscoid  33369  dffun10  33370  elfuns  33371  brsingle  33373  brapply  33394  brsuccf  33397  dfrdg4  33407  bj-imdirid  34469  iss2  35595  undmrnresiss  39957  dffrege99  40301  ipo0  40774  ifr0  40775  fourierdlem42  42427