Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idfusubc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfusubc0 41760
Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
idfusubc.s 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
idfusubc.i 𝐼 = (idfunc𝑆)
idfusubc.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
idfusubc0 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idfusubc.i . . 3 𝐼 = (idfunc𝑆)
2 idfusubc.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 idfusubc.s . . . 4 𝑆 = (𝐶cat 𝐽)
4 id 22 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
53, 4subccat 16223 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝑆 ∈ Cat)
6 eqid 2514 . . 3 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
71, 2, 5, 6idfuval 16251 . 2 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩)
8 fveq2 5987 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
9 df-ov 6429 . . . . . . 7 (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
108, 9syl6eqr 2566 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))
1110reseq2d 5208 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)) = ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
1211mpt2mpt 6527 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
1312a1i 11 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))))
1413opeq2d 4245 . 2 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
157, 14eqtrd 2548 1 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  cop 4034  cmpt 4541   I cid 4842   × cxp 4930  cres 4934  cfv 5689  (class class class)co 6426  cmpt2 6428  Basecbs 15579  Hom chom 15663  cat cresc 16183  Subcatcsubc 16184  idfunccidfu 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-hom 15677  df-cco 15678  df-cat 16044  df-cid 16045  df-homf 16046  df-ssc 16185  df-resc 16186  df-subc 16187  df-idfu 16234
This theorem is referenced by:  idfusubc  41761
  Copyright terms: Public domain W3C validator