MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idiso 16372
Description: The identity is an isomorphism. Example 3.13 of [Adamek] p. 28. (Contributed by AV, 8-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invid.i 𝐼 = (Id‘𝐶)
invid.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invid.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
idiso (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem idiso
StepHypRef Expression
1 invid.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2621 . 2 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
3 invid.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invid.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
5 eqid 2621 . 2 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
6 invid.i . . 3 𝐼 = (Id‘𝐶)
71, 6, 3, 4invid 16371 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋)(𝑋(Inv‘𝐶)𝑋)(𝐼𝑋))
81, 2, 3, 4, 4, 5, 7inviso1 16350 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  Catccat 16249  Idccid 16250  Invcinv 16329  Isociso 16330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-cat 16253  df-cid 16254  df-sect 16331  df-inv 16332  df-iso 16333
This theorem is referenced by:  invisoinvl  16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator